Soit \\(0< \\lambda < 1\/2\\) un param\u00e8tre. On note \\(I\\) l’intervalle d’extr\u00e9mit\u00e9s \\( \\pm \\frac{1}{ 1-\\lambda} \\). Ce dernier est stable par le syst\u00e8me d’it\u00e9ration d\u00e9fini par les deux applications<\/p>\n
\\[ \u00a0h_{\\pm} : x \\mapsto \\lambda x \\pm 1 . \\]<\/p>\n
L’ensemble limite de ce syst\u00e8me d’it\u00e9ration est un Cantor \\(\\Lambda \\subset I \\), d\u00e9fini par<\/p>\n
\\[ \\Lambda = \\bigcap_{n\\in \\mathbb N^{>0}} \u00a0\\bigcup_{\\varepsilon_1,\\ldots,\\varepsilon_n = \\pm 1} h_{\\varepsilon_1} \\circ \\ldots \\circ h_{\\varepsilon_n} (I) .\\]<\/p>\n
Il peut \u00e9galement \u00eatre caract\u00e9ris\u00e9 par les deux propri\u00e9t\u00e9s suivantes : toute orbite du semi-groupe engendr\u00e9 par les applications \\(h_{\\pm} \\) contient \\(\\Lambda\\) dans son adh\u00e9rence, et les orbites contenues dans \\(\\Lambda\\) sont denses dans \\(\\Lambda\\).<\/p>\n
Consid\u00e9rons maintenant un pantalon \\(\\Pi\\), c’est \u00e0 dire une surface compacte diff\u00e9omorphe \u00e0 une sph\u00e8re priv\u00e9e de trois disques ouverts. On note \\(\\partial _{\\pm} \\Pi\\) et \\( \\partial _{ext} \\Pi \\) ses trois composantes de bord (deux int\u00e9rieures et une ext\u00e9rieure). Identifions le bord de \\(\\Pi \\times I \\) par la relation<\/p>\n
\\[ \\partial _\\pm \\Pi \\times I \\sim \\partial _{ext}\\Pi \u00a0\\times h_\\pm (I) , \\]<\/p>\n
d\u00e9finie par des diff\u00e9omorphismes de la forme \\(\\varphi_\\pm \\times h_\\pm\\), o\u00f9 \\(\\varphi_\\pm\\) est un diff\u00e9omorphisme de \\(\\partial _\\pm\\Pi\\) dans\u00a0\\(\\partial _{ext}\\Pi\\) qui renverse l’orientation. On obtient une \\(3\\)-vari\u00e9t\u00e9 \\(B\\) \u00e0 bord et \u00e0 coin, compacte, qui est \u00e9quip\u00e9e d’un feuilletage transversalement affine \\(\\mathcal F\\) : le quotient du feuilletage horizontal de \\(\\Pi \\times I \\) par pantalons. Ce dernier feuilletage contient un minimal exceptionnel contenu dans l’int\u00e9rieur de \\( B\\) \u00a0: il s’agit du quotient de \\(\\Pi \\times \\Lambda\\) par la relation d\u00e9finissant \\(B\\).<\/p>\n
Examinons la structure du bord de \\(B\\). Topologiquement, il s’agit d’une surface de genre deux. Elle est obtenue en recollant les deux tores trou\u00e9s<\/p>\n
\\[ T_{\\pm } := \\Pi \\times \\{ \\pm \\frac{1}{1-\\lambda}\\} \/ \u00a0\\sim\u00a0\\]<\/p>\n
avec l’anneau<\/p>\n
\\[ A = \\partial _{ext} \\Pi \\times \\left( I \\setminus ( h_-(I) \\cup h_+ (I)) \\right). \\]<\/p>\n
Les coins de \\( B \\) sont les deux courbes de bord de ces domaines. \u00a0L’int\u00e9rieur de l’anneau \\( A\\) est transverse \u00e0 \\(\\mathcal F\\) (ce dernier induit sur \\(A\\) une fibration en cercles), mais les int\u00e9rieurs des domaines \\(T_{\\pm} \\) sont tangents \u00e0 \\(\\mathcal F\\). Au voisinage d’un point d’une de ces courbes de coin, le bloc \\(B\\) est diff\u00e9omorphe \u00e0 l’espace \\(\\mathbb R^3\\) auquel on a enlev\u00e9 le quart d’espace \\( \\mathbb R\\times \\mathbb R^{>0}\u00a0\\times \\mathbb R^{>0} \\), et le feuilletage est le feuilletage horizontal. Dans ces coordonn\u00e9es, la courbe de coin est donn\u00e9e par \\(\\mathbb R \\times (0,0)\\).<\/p>\n
Examinons pour conclure la repr\u00e9sentation d’holonomie sur chaque tore trou\u00e9 \\(T_{\\pm} \\). Les groupes fondamentaux de ces tores sont des groupes librement engendr\u00e9s par deux \u00e9l\u00e9ments. Si l’on consid\u00e8re le cas du tore \\( T_+ \\) par exemple, et que l’on choisit pour point base un certain point \\(p_+\\) de \\(\\partial_{ext} \\Pi \\times \\{\\frac{1}{1-\\lambda}\\}\\), on constate que l’un des g\u00e9n\u00e9rateurs \\(\\alpha_+\\) de \\(\\pi _1(T_+, p_+)\\) est la courbe \\(\\partial _{ext}\\Pi \\times \\{\\frac{1}{1-\\lambda}\\} \\), et l’autre est l’\u00e9l\u00e9ment \\(\\beta_+\\) repr\u00e9sent\u00e9 par la courbe de \\(\\Pi\\times \\{\\frac{1}{1-\\lambda}\\}\\) reliant \\(p_+\\) \u00e0 \\( (\\varphi_{\\pm} \\times h_+) (p_+)\\). Par construction, la repr\u00e9sentation d’holonomie \\( hol: \\pi_1(T_+, p_+) \\rightarrow Aff_+(\\mathbb R, 0) \\) est alors donn\u00e9e par<\/p>\n
\\[ \u00a0hol( \\alpha_+) = id \\text{ et } hol (\\beta_+ ) = (x\\mapsto \\lambda x) .\\]<\/p>\n
Construction du second bloc\u00a0<\/strong><\/p>\n Consid\u00e9rons un feuilletage transversalement affine et transversalement orient\u00e9 \\(\\mathcal G\\) sur une vari\u00e9t\u00e9 de dimension \\(3\\) ferm\u00e9e, et supposons qu’il existe une courbe transverse orient\u00e9e \\(c\\) \u00a0dont l’holonomie (vis \u00e0 vis de la structure affine transverse \u00e0 \\(\\mathcal G\\) ) est une transformation affine de d\u00e9riv\u00e9e \\(1\/\\lambda\\). Cette transformation est donc conjugu\u00e9e \u00e0 la transformation \\( x\\mapsto \u00a0x\/\\lambda\\), et la structure affine sur cette courbe est le quotient de \\( (0,+\\infty) \\) par la multiplication par \\(1\/\\lambda\\) (ceci r\u00e9sulte du fait que l’holonomie d’une structure affine sur un cercle d\u00e9termine compl\u00e8tement la structure).<\/p>\n Supposons \u00e9galement qu’il existe une autre courbe \\( c’ \\), transverse \u00e0 \\(\\mathcal G\\), mais disjointe de \\(c\\), et dont l’holonomie vis \u00e0 vis de la structure affine transverse de \\(\\mathcal G\\) est une transformation affine de d\u00e9riv\u00e9e \\(\\lambda \\). La structure affine induite par le feuilletage est cette fois-ci \u00a0le quotient \u00a0 de \\( (-\\infty, 0) \\) par la multiplication par \\( \\lambda \\).<\/p>\n Consid\u00e9rons maintenant les composantes de Reeb \\(\\mathcal R\\) et \\(\\mathcal R’ \\) d\u00e9finies par les quotients<\/p>\n \\[ \\left( \\mathbb R^2 \\times [ 0, +\\infty ) \\setminus (0,0,0) \u00a0\\right) \/ (x,y,z) \\sim (x\/\\lambda, y\/\\lambda, z\/\\lambda) \\]<\/p>\n et<\/p>\n \\[ \\left( \\mathbb R^2 \\times ( -\\infty , 0] \\setminus (0,0,0) \\right) \/ (x,y,z) \\sim (\\lambda x, \\lambda y, \\lambda z) \\]<\/p>\n munis des quotients du feuilletage horizontal. Il s’agit de feuilletages transversalement affines et transversalement orient\u00e9s. Les courbes<\/p>\n \\[ r = \\{0\\} \\times \\{0\\} \\times (0, +\\infty) \\backslash \\\u00a0(0,0,z) \\sim (0, 0, z\/\\lambda)\\]<\/p>\n et<\/p>\n \\[ r’=\u00a0\\{0\\} \\times \\{0\\} \\times (-\\infty,0) \/ \\ (0,0,z) \\sim (0, 0, \\lambda z)\\]<\/p>\n sont respectivement transverses \u00e0 \\(\\mathcal R\\) et \\(\\mathcal R’\\) et affinement \u00e9quivalentes aux courbes \\(c\\) et \\(c’\\). On peut donc \u00f4ter des voisinages tubulaires de \\( c\\) et \\(r\\) et recoller les bords de ces voisinages par un diff\u00e9omorphisme qui respecte les feuilletages par cercles induits par \\(\\mathcal G\\) et \\(\\mathcal R\\) respectivement, ainsi que la structure transverse affine et l’orientation transverse (mais on demande \u00e0 ce que l’orientation le long des feuilles soit renvers\u00e9e de mani\u00e8re \u00e0 construire un feuilletage orient\u00e9). On fait de m\u00eame avec \\(c’\\) et \\(r’\\). Cette proc\u00e9dure est appel\u00e9e le tourbillonnement de Reeb.<\/p>\n On obtient un feuilletage \\( \\mathcal H\\) d’une vari\u00e9t\u00e9 compacte \\(N\\), qui est transversalement affine, et qui admet pour bord deux feuilles toriques, l’une avec l’orientation transverse sortante, et l’autre avec l’orientation transverse rentrante. L’holonomie sur ces deux tores est donn\u00e9e par la repr\u00e9sentation qui envoie l’un des g\u00e9n\u00e9rateurs du groupe fondamental sur l’identit\u00e9, et l’autre sur la transformation affine \\( x\\mapsto \\lambda x\\) (on peut supposer que ces deux g\u00e9n\u00e9rateurs s’intersectent positivement qui \u00e0 inverser celui dont l’holonomie est l’identit\u00e9).<\/p>\n Supposons de surcro\u00eet que le feuilletage \\( \\mathcal G\\) ait des feuilles denses. Dans ce cas, il en est de m\u00eame du feuilletage \\( \\mathcal H\\), et il existe donc un chemin transverse \u00e0 \\(\\mathcal H\\) qui part de la feuille du bord rentrante et termine \u00e0 la feuille du bord sortante. Enlevons un petit voisinage tubulaire de ce chemin. Nous obtenons une vari\u00e9t\u00e9 de dimension \\(3\\) compacte \u00e0 bord et \u00e0 coin. Le bord est une surface de genre \\(2\\) form\u00e9e de trois partie :<\/p>\n Les coins sont les deux courbes o\u00f9 se recollent l’anneau aux tores trou\u00e9s. Ils admettent des voisinages localement diff\u00e9omorphes au produit d’un anneau par un intervalle semi-ferm\u00e9, les feuilles du feuilletage \u00e9tant les anneaux horizontaux dans ces coordonn\u00e9es.<\/p>\n Recollement<\/b><\/p>\n On recolle le premier bloc au second bloc en utilisant un diff\u00e9omorphisme entre leur bord qui pr\u00e9serve l’orientation des feuilles et la repr\u00e9sentation d’holonomie sur les tores, et qui est transversalement affine en restriction aux anneaux transverses. On obtient de cette fa\u00e7on un feuilletage transversalement affine d’une \\(3\\)-vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e qui admet un minimal exceptionnel (contenu dans le premier bloc).<\/p>\n Conclusion<\/strong><\/p>\n Pour achever la construction, il suffit donc d’expliquer comment on construit un feuilletage \\(\\mathcal G\\) transversalement affine sur une \\(3\\)-vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e, dont toutes les feuilles sont denses, et qui admet deux courbes transverses \\(c\\) et \\(c’\\) comme avant.<\/p>\n Pour cela, consid\u00e9rons un tore \\( \\mathbb T^3 = \\mathbb R^3 \/ \\mathbb Z^3\\) \u00e9quipp\u00e9 d’un feuilletage irrationnel \\(\\mathcal I\\) de codimension \\(1\\) dont la distribution tangente est d\u00e9finie par le noyau d’une forme ferm\u00e9e du type<\/p>\n \\[ \\omega = dx + \\lambda dy + \\mu dz \\]<\/p>\n o\u00f9 \\(\\mu\\) est un nombre irrationnel. Le feuilletage \\(\\mathcal I\\) admet une structure de translation transverse, dont l’holonomie le long de toute courbe est la translation par l’int\u00e9grale de \\(\\omega\\).<\/p>\n Consid\u00e9rons quatre courbes ferm\u00e9es simples disjointes \\( c_1,c_2,d_1,d_2 \\), transverses au feuilletage \\(\\mathcal I\\), et telles que<\/p>\n \\[ \\int _{c_1} \\omega =1 ,\\\u00a0\\int _{c_2} \\omega = \\lambda, \\\u00a0\\int _{d_1} \\omega = \\lambda,\\\u00a0\\int _{d_2} \\omega = 1.\\]<\/p>\n Puisque ces courbes sont transverses, le feuilletage \\(\\mathcal I\\) est au voisinage de ces courbes le produit d’un disque par la courbe. On peut donc enlever des voisinages tubulaires de chacune des courbes, et les recoller deux \u00e0 deux de la fa\u00e7on suivante : on recolle le bord du voisinage de la courbe \\(c_1\\) \u00a0(resp. \\(d_1\\)) avec celui de la courbe \\(c_2\\) (resp. \\(d_2\\)) en utilisant un diff\u00e9omorphisme qui pr\u00e9serve le feuilletage (tout en inversant l’orientation des feuilles), et qui est transversalement une application affine, de pente \\(\\lambda\\) (resp. \\(1\/\\lambda\\) ). Nous obtenons alors un feuilletage transversalement affine sur une vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e \\(M\\) : il s’agit de notre feuilletage \\(\\mathcal G\\). L’existence des courbes \\(c\\) et \\(c’\\) est facile. Consid\u00e9rons un point \\( p_1 \\) dans le voisinage tubulaire de la courbe \\(c_1\\) et son image \\(p_2\\) dans le bord du voisinage de la courbe \\(c_2\\) par le diff\u00e9omorphisme de recollement. Comme les feuilles de \\(\\mathcal I \\) sont denses, on peut trouver un chemin plong\u00e9 reliant \\(p_1\\) \u00e0 \\(p_2\\) qui \u00e9vite les int\u00e9rieurs des voisinages tubulaires des quatre courbes \\(c_1,c_2,d_1,d_2\\), et qui est transverse \u00e0 \\(\\mathcal I\\) — plus pr\u00e9cis\u00e9ment sur lequel \\(\\omega\\) est strictement positive. Ce chemin d\u00e9finit une courbe ferm\u00e9e simple dans \\(M\\) dont l’holonomie est une transformation affine de pente \\(1\/\\lambda\\). On fait la m\u00eame construction en utilisant le couple \\((d_1,d_2)\\) pour la construction de la courbe \\(c’\\), puis on prend des perturbations de \\(c\\) et \\(c’\\) pour les rendre disjointes.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Cet article est destin\u00e9 \u00e0 la construction d’un feuilletage transversalement affine de codimension un d’une vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e de dimension trois, qui admet un minimal exceptionnel. La construction est d\u00fbe \u00e0 Ghys et Hector, et r\u00e9pond \u00e0 un probl\u00e8me qui avait \u00e9t\u00e9 pos\u00e9 par Godbillon ; elle nous a \u00e9t\u00e9 communiqu\u00e9e par Ga\u00ebl Meignez. 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