{"id":41,"date":"2017-01-25T21:28:26","date_gmt":"2017-01-25T20:28:26","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?p=41"},"modified":"2017-01-27T14:16:52","modified_gmt":"2017-01-27T13:16:52","slug":"livre-ouvert-suite","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/2017\/01\/25\/livre-ouvert-suite\/","title":{"rendered":"Livre ouvert, suite"},"content":{"rendered":"
Je ne sais pas comment il sera possible de \u00ab\u00a0voir\u00a0\u00bb ce feuilletage de Reeb, car le feuilletage de codimension un transversalement dyadique ne me semble pas forc\u00e9ment \u00e9vident \u00e0 programmer : il s’agit du \u00ab\u00a0feuilletage stable faible\u00a0\u00bb du champ gradient de log-norme.<\/div>\n
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En ce qui concerne la notion de livre ouvert, tu peux g\u00e9n\u00e9raliser \u00e0 toutes les dimensions. En dimension 3\u00a0tu connais. En dimension qcq il s’agit d’une fibration sur le cercle en dehors d’une sous-vari\u00e9t\u00e9 de codimension deux appel\u00e9e la reliure ; la fibration au voisinage de la reliure \u00e9tant localement donn\u00e9e par<\/div>\n
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\\[ (x,z=r\\cdot\\text{exp}^{i\\theta}) \\longmapsto \\text{exp}(i\\theta) \\]<\/div>\n
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dans des coordonn\u00e9es \\( (x,z) \\in \\mathbf{D}^{n-2} \\times \\mathbf{D}^2 \\).\u00a0La reliure est alors donn\u00e9e par \\( z=0 \\).\u00a0Cette notion existe d’ailleurs sur les surfaces m\u00eame si la terminologie n’est pas tr\u00e8s parlante dans cette dimension.<\/div>\n
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Dans notre cas, on a pas une fibration mais un feuilletage de codimension un avec une dynamique transverse dyadique assez riche, donc j’ai exag\u00e9r\u00e9 en disant qu’il s’agit d’un livre ouvert. N\u00e9anmoins, il poss\u00e8de la m\u00eame structure locale au voisinage de la surface de Bogomolov B\u00a0: au voisinage de tout point de B\u00a0priv\u00e9 de B\u00a0le feuilletage est donn\u00e9 par les niveaux d’applications \u00e0 valeurs dans le cercle donn\u00e9e par la m\u00eame formule que plus haut, qui sont bien d\u00e9finies modulo post-composition par un \u00e9l\u00e9ment du groupe de Thompson. Il y a donc une repr\u00e9sentation de monodromie (\u00e0 la diff\u00e9rence d’un livre ouvert standard), qui associe \u00e0 un \u00e9l\u00e9ment du groupe fondamental de B\u00a0un \u00e9l\u00e9ment du groupe de Thompson. Il s’agit bien \u00e9videmment de la repr\u00e9sentation dont on a parl\u00e9 plusieurs fois !<\/div>\n
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Derni\u00e8re remarque : la classe de Godbillon-Vey discr\u00e8te de cette repr\u00e9sentation sera \u00e9gale au nombre de singularit\u00e9s fois la classe de GV discr\u00e8te du feuilletage de Reeb de \\(\\mathbf{S}^3\\). Ceci r\u00e9sulte de l’existence du feuilletage de codimension un transversalement dyadique d\u00e9fini sur \\( \\mathbf{P}^2(\\mathbf{C} \\setminus (\\text{sing}(\\mathcal{F} \\cup B) \\), ainsi que de l’invariance de GV par bordisme. Par contre, je n’arrive pas encore \u00e0 bien comprendre comment on calcule GV pour les feuilletages de codimension un transversalement dyadiques, \u00e0 la fa\u00e7on d’une int\u00e9grale explicite comme pour l’invariant de GV classique. Il y a un petit travail \u00e0 faire ici…<\/div>\n
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On s’\u00e9clate bien\u00a0😊\u00a0!<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Je ne sais pas comment il sera possible de \u00ab\u00a0voir\u00a0\u00bb ce feuilletage de Reeb, car le feuilletage de codimension un transversalement dyadique ne me semble pas forc\u00e9ment \u00e9vident \u00e0 programmer : il s’agit du \u00ab\u00a0feuilletage stable faible\u00a0\u00bb du champ gradient de log-norme. En ce qui concerne la notion de livre ouvert, tu peux g\u00e9n\u00e9raliser \u00e0 … Continuer la lecture de « Livre ouvert, suite »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-41","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/41","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=41"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/41\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":44,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/41\/revisions\/44"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=41"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=41"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=41"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}