Un champ de vecteurs non singulier homog\u00e8ne \\(X\\) sur \\(\\mathbf{C}^{n+1}\\) d\u00e9finit un feuilletage alg\u00e9brique \\(\\mathcal{F}\\) de \\(\\mathbf{P}^n(\\mathbf{C})\\), ainsi qu’une structure affine \\(\\sigma\\) le long des feuilles de ce dernier. Cette derni\u00e8re est donn\u00e9e par le param\u00e9trage par le temps complexe des solutions dans \\(\\mathbf{C}^{n+1}\\). Pr\u00e9cisons tout cela.<\/p>\n
Un champ de vecteurs\u00a0\\(X\\) sur \\(\\mathbf{C}^{n+1}\\) est alg\u00e9brique<\/em>\u00a0si chacune de ses coordonn\u00e9es est donn\u00e9e par une fonction polynomiale. Un tel champ est\u00a0homog\u00e8ne de degr\u00e9 \\(d \\geq 2\\)<\/em>\u00a0si, pour tout \\(\\lambda \u00a0\\in \\mathbf{C}\\) et tout \\(x \\in \\mathbf{C}^{n+1}\\),<\/span><\/p>\n \\[X(\\lambda x) = \\lambda^d X(x).\\]<\/p>\n Si \\(t \\in \\mathbf{C} \\mapsto x(t) \\in\u00a0\\mathbf{C}^{n+1}\\) d\u00e9signe une solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle d\u00e9finie par le champ de vecteurs \\(X\\) de condition initiale\u00a0\\(x_0 \\in\u00a0\\mathbf{C}^{n+1} \\) au temps \\(t=0\\), alors on v\u00e9rifie imm\u00e9diatement que,\u00a0pour tout \\(\\lambda \\in \\mathbf{C}\\),<\/p>\n \\[t \\mapsto \\lambda x(\\lambda^{d-1}t)\\]<\/p>\n est solution de la m\u00eame \u00e9quation diff\u00e9rentielle de\u00a0condition initiale \\(\\lambda x_0\\). En passant au quotient, les solutions\u00a0de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle d\u00e9finie par \\(X\\) dans \\(\\mathbf{C}^{n+1}\\) d\u00e9finissent une structure de feuilletage alg\u00e9brique sur l’espace projectif complexe \\(\\mathbf{P}^n(\\mathbf{C})\\).<\/p>\n Les singularit\u00e9s d’un feuilletage alg\u00e9brique correspondent aux points \\(x\\) de\u00a0\\(\\mathbf{C}^{n+1} \\setminus \\{0\\}\\) en lesquels les vecteurs \\(x\\) et \\(X(x)\\) sont\u00a0colin\u00e9aires ; un feuilletage alg\u00e9brique de degr\u00e9 \\(d\\) admet exactement \\(D = d^2+d+1\\) singularit\u00e9s.<\/p>\n SUITE \u00e0 TERMINER<\/p>\n Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, si \\(P = [x:y:z] \\in (\\mathbf{P}^n(\\mathbf{C})\\), on param\u00e8tre la feuille \\(F_{P}\\) passant par \\(P\\) par \\(t\\mapsto [x(t) : y(t) : z(t)]\\), o\u00f9 $t\\mapsto (x(t), y(t), z(t))$ d\\’esigne la solution de<\/p>\n \\[\\frac{dx}{dt} = X(x)\\]<\/p>\n de condition initiale $(x_0,y_0,z_0)$. La solution de \\eqref{eq: Jouanolou} passant par $(\\lambda x_0, \\lambda y_0, \\lambda z_0)$ est la courbe $t\\mapsto (\\lambda x(\\lambda t), \\lambda y(\\lambda t), \\lambda z(\\lambda t) ) $ par homog\\’en\\’e\\\u00a0\u00bb{\\i}t\\’e. Notez qu’au point $(\\lambda x_0, \\lambda y_0, \\lambda z_0)$ le temps est multipli\\’e par $1\/\\lambda$~: en particulier, lorsque $\\lambda$ est grand les choses se passent beaucoup plus vite! Par contre, tous ces param\\`etrages de $L_{p_0}$ diff\\`erent par pr\\’ecomposition par une transformation affine de $\\mathbb C$, ce qui fournit la structure affine d\\’esir\\’ee.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Un champ de vecteurs non singulier homog\u00e8ne \\(X\\) sur \\(\\mathbf{C}^{n+1}\\) d\u00e9finit un feuilletage alg\u00e9brique \\(\\mathcal{F}\\) de \\(\\mathbf{P}^n(\\mathbf{C})\\), ainsi qu’une structure affine \\(\\sigma\\) le long des feuilles de ce dernier. Cette derni\u00e8re est donn\u00e9e par le param\u00e9trage par le temps complexe des solutions dans \\(\\mathbf{C}^{n+1}\\). Pr\u00e9cisons tout cela. \u00c9quations diff\u00e9rentielles et feuilletages Un champ de vecteurs\u00a0\\(X\\) … Continuer la lecture de « \u00c9quations diff\u00e9rentielles, feuilletages et structures affines »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-98","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/98","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=98"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/98\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":117,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/98\/revisions\/117"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=98"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\u00c9quations diff\u00e9rentielles et structures affines<\/h5>\n