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<\/p>\nLes \\textit{points r\u00e9els} du plan projectif complexe sont par d\u00e9finition les points de \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\) qui admettent un syst\u00e8me de coordonn\u00e9es homog\u00e8nes r\u00e9elles.
\nParmi eux, on peut citer les points $P_x$, $P_y$ et $P_z$, ainsi que la singularit\u00e9 $S_0$ de coordonn\u00e9es homog\u00e8nes $[1:1:1]$ (qui est donc une feuille \\og d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e \\fg\\ du feuilletage de Jouanolou).
\nL’ensemble des points r\u00e9els est exactement le plan projectif r\u00e9el \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\) en tant que sous-espace de \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\).<\/p>\n
On appelle \\textit{feuille r\u00e9elle} du feuilletage de Jouanolou dans \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\) une feuille qui passe par au moins un point r\u00e9el de \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\).<\/p>\n
En dehors de la singularit\u00e9 $S_0$, peut-on d\u00e9crire l’espace des feuilles r\u00e9elles ?<\/p>\n
Le champ de Jouanolou \u00e9tant \u00e0 coefficients r\u00e9els, nous allons nous int\u00e9resser dans cette section \u00e0 la restriction du feuilletage de Jouanolou au plan projectif r\u00e9el \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\).
\nC’est un feuilletage par courbes r\u00e9elles ayant pour unique singularit\u00e9 la singularit\u00e9 $S_0$.<\/p>\n
\\noindent
\n\\textbf{M\u00e9thode pour dessiner ce feuilletage.}
\nDans $\\mathbf{R^3}$, on s’int\u00e9resse au champ
\n\\[J_d – \\frac{R \\cdot J_d}{||\\cdot||^2} R\\]
\n\\noindent
\nqui d\u00e9finit sur \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\) le m\u00eame feuilletage que le champ $J_d$ et qui a la vertu d’\u00eatre tangent \u00e0 la sph\u00e8re $\\mathbf{S}^2$ dans $\\mathbf{R}^3$.
\nLa sph\u00e8re $\\mathbf{S}^2$ est un rev\u00eatement double de \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\).
\nLe plan projectif r\u00e9el peut \u00eatre identifi\u00e9 au demi-h\u00e9misph\u00e8re contenant la singularit\u00e9 $S_0$ comme p\u00f4le nord et d\u00e9limit\u00e9 par le plan \u00e9quatorial d’\u00e9quation $x+y+z=0$, \u00e0 condition d’identifier deux points diam\u00e9tralement oppos\u00e9s sur l’\u00e9quateur.
\nEnfin, une projection orthogonale permet de se ramener \u00e0 un disque dont les points du bord sont diam\u00e9tralement oppos\u00e9s et dont le centre est l’image de la singularit\u00e9 $S_0$.<\/p>\n
On obtient les images de la figure \\ref{feuilletageJouanolouSphere}, selon le degr\u00e9 $d$ du feuilletage.
\nLe point noir central est $S_0$, les points rouge, bleu et vert sont respectivement les points $P_x$, $P_y$ et~$P_z$.<\/p>\n
<\/p>\n
Sur ces figures, on remarque facilement l’action de la sym\u00e9trie $S$.
\nOn note \u00e9galement que les feuilles de la restriction du feuilletage de Jouanolou \u00e0 \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\) sont toutes, \u00e0 l’exception de la singularit\u00e9 $S_0$, des courbes r\u00e9elles dont l’une des deux extr\u00e9mit\u00e9s tend vers $S_0$.<\/p>\n
En fait, suivant la parit\u00e9 du degr\u00e9 $d$, on peut pr\u00e9ciser les choses.
\nCommen\u00e7ons par remarquer que le champ \\(J_d – \\frac{R \\cdot J_d}{||\\cdot||^2} R\\) d\u00e9fini sur la sph\u00e8re $\\mathbf{S}^2$ passe au quotient dans le cas pair pour d\u00e9finir un champ de vecteurs sur \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\).<\/p>\n
Les deux paires d’images de la figure \\ref{versInfini} ci-dessous correspondent aux degr\u00e9s 2 et~3.
\nOn part des m\u00eames conditions initiales dans \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\) et on regarde la dynamique du feuilletage dans les deux directions vers l’infini.<\/p>\n
\\begin{itemize}
\n\\renewcommand\\labelitemi{$\\bullet$}
\n\\item Si $d$ est pair : les feuilles de la restriction du feuilletage de Jouanolou \u00e0 \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{R}}^2\\) semblent toutes, \u00e0 l’exception de la singularit\u00e9 $S_0$, des courbes r\u00e9elles dont les extr\u00e9mit\u00e9s tendent vers $S_0$ quand $t \\rightarrow \\pm\\infty$ (l’adh\u00e9rence de chaque feuille est topologiquement un cercle).
\n\\item Si $d$ est impair : en plus de la singularit\u00e9 $S_0$, le cercle \u00e9quatorial joue un r\u00f4le particulier puisque toutes les courbes r\u00e9elles du feuilletage semblent avoir une extr\u00e9mit\u00e9 qui tend vers $S_0$ alors que l’autre extr\u00e9mit\u00e9 oscille au voisinage du cercle \u00e9quatorial en l’intersectant r\u00e9guli\u00e8rement une infinit\u00e9 de fois (voir figure \\ref{comportementCercleEquatorial} ci-dessous o\u00f9 l’on trace en fonction du temps la somme $x+y+z$ des coordonn\u00e9es d’une trajectoire).
\n\\end{itemize}<\/p>\n
\\begin{figure}[h]
\n\\caption{Vers l’infini…}
\n\\label{versInfini}
\n\\vspace{0.5cm}
\n\\begin{minipage}[c]{.45\\linewidth}
\n\\includegraphics[scale=0.25]{img\/planProjectifReelTempsPositif_degre2.png}
\n\\centerline{… dans une direction ($d=2$)}
\n\\includegraphics[scale=0.25]{img\/planProjectifReelTempsPositif_degre3.png}
\n\\centerline{… dans une direction ($d=3$)}
\n\\end{minipage} \\hfill
\n\\begin{minipage}[c]{.45\\linewidth}
\n\\includegraphics[scale=0.25]{img\/planProjectifReelTempsNegatif_degre2.png}
\n\\centerline{… dans l’autre direction ($d=2$)}
\n\\includegraphics[scale=0.25]{img\/planProjectifReelTempsNegatif_degre3.png}
\n\\centerline{… dans l’autre direction ($d=3$)}
\n\\end{minipage}
\n\\end{figure}<\/p>\n
\\begin{figure}[h]
\n\\caption{Comportement des trajectoires au voisinage du cercle \u00e9quatorial ($d=3$)}
\n\\label{comportementCercleEquatorial}
\n\\centerline{\\includegraphics[scale=0.4]{img\/planProjectifReelCercleEquatorial_degre3.png}}
\n\\end{figure}<\/p>\n
Comme nous l’avons indiqu\u00e9 pr\u00e9c\u00e9demment, en coordonn\u00e9es homog\u00e8nes, le plan \u00e9quatorial est donn\u00e9 par l’\u00e9quation cart\u00e9sienne $x+y+z=0$.
\nTrois points du cercle \u00e9quatorial jouent un r\u00f4le particulier : ce sont les points de coordonn\u00e9es homog\u00e8nes $[1:-1:0]$, $[-1:0:1]$ et $[0:1:-1]$ qui forment une orbite de $S$.
\nNous allons d\u00e9montrer qu’en degr\u00e9 $d$ impair le champ de vecteurs \\(J_d – \\frac{R \\cdot J_d}{||\\cdot||^2} R\\) est tangent au plan \u00e9quatorial en ces trois points.
\nEn effet, on a
\n\\[x^d+y^d=(x+y)\\sum_{k=0}^{d-1}(-1)^k y^k x^{d-1-k}.\\]
\nPuisque $z=-(x+y)$ dans le plan \u00e9quatorial, la formule du bin\u00f4me de Newton permet d’\u00e9crire
\n\\[x^d+y^d+z^d=(x+y)\\sum_{k=0}^{d-1}((-1)^k-\\text{C}_{d-1}^k) y^k x^{d-1-k}.\\]
\nLa somme ci-dessus est tout aussi bien index\u00e9e par $k$ variant entre $1$ et $d-2$, ce qui permet de factoriser $xy$ de la somme et d’\u00e9crire, en utilisant une fois encore le fait que $z=-(x+y)$,
\n\\[x^d+y^d+z^d=xyz\\sum_{k=1}^{d-2}(\\text{C}_{d-1}^k-(-1)^k) y^{k-1} x^{d-2-k}.\\]
\nOr la somme \\(x^d+y^d+z^d\\) est \u00e9gale au produit scalaire de notre champ de vecteurs par le vecteur de coordonn\u00e9es $(1,1,1)$ qui dirige la normale au plan \u00e9quatorial, ce qui termine la d\u00e9monstration.<\/p>\n
\\noindent
\n\\textbf{Question :}
\nPeut-on mieux comprendre la dynamique du champ de vecteurs dans le cas impair au voisinage du cercle \u00e9quatorial ?
\nA-t-elle un rapport avec le flot de Cherry (r\u00e9f\u00e9rence int\u00e9ressante : \\url{http:\/\/algant.eu\/documents\/theses\/palmisano.pdf}) ?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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