Le champ de Jouanolou de degr\u00e9 \\(d\\) est donn\u00e9 par<\/p>\n
\\[J_d(x,y,z) = y^d\\frac{\\partial}{\\partial x}+z^d\\frac{\\partial}{\\partial y}+x^d\\frac{\\partial}{\\partial z}.\\]<\/p>\n
La surface de Bogomolov dans \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\) est d\u00e9finie en coordonn\u00e9es homog\u00e8nes par l’\u00e9quation<\/p>\n
\\[(\\mathcal{B}_d) : R \\cdot J_d = 0 \\quad i.e. \\quad x \\bar{y}^d + y \\bar{z}^d + z \\bar{x}^d = 0\\]<\/p>\n
Le groupe de sym\u00e9tries du feuilletage est engendr\u00e9 par les transformations suivantes.<\/p>\n
\\[D = d^2+d+1 \\qquad \\zeta_D = \\text{e}^{2i\\pi\/D}\\]<\/p>\n
\\[S : [x:y:z] \\longmapsto [y:z:x] \\qquad T_D : [x:y:z] \\longmapsto [\\zeta_D x:\\zeta^{-d}_D y:z]\\]<\/p>\n
\\[G_D = <S,T_D> = \\mathbf{Z}\/3\\mathbf{Z} \\times_| \\mathbf{Z}\/D\\mathbf{Z}\\]<\/p>\n
Remarquons les trois axes \\(P_x = [1:0:0]\\), \\(P_y = [0:1:0]\\) et \\(P_z = [0:0:1]\\) d\u00e9finissent trois points r\u00e9els de \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\) qui :<\/p>\n
Le groupe \\(\\mathbf{Z}\/D\\mathbf{Z}\\) op\u00e8re bien entendu dans l’ensemble \\(\\{0 \\cdots D\\}\\) comme sous-groupe de permutation. Notons \\(\\bar{1}\\), \\(\\bar{d}\\) et \\(\\bar{d^2}\\) les images de \\(1\\), \\(d\\) et \\(d^2\\) dans le groupe \\(\\mathbf{Z}\/D\\mathbf{Z}\\). Bien entendu, on \\(\\bar{d} = \\bar{1}^d\\) et \\(\\bar{d^2} = \\bar{1}^{d^2}\\). Par ailleurs, \\(d\\) et \\(D\\) sont premiers entre eux (d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de B\u00e9zout puisque \\(-(d+1)\\cdot d+1 \\cdot D=1\\)). De m\u00eame, \\(d^2\\) et \\(D\\) sont premiers entre eux (\\(d\\cdot d^2-(d-1)\\cdot D=1\\)). Ainsi<\/p>\n
\\[\\mathbf{Z}\/D\\mathbf{Z} = <\\bar{1},\\bar{d},\\bar{d^2}>=<\\bar{1}>=<\\bar{d}>=<\\bar{d^2}>.\\]<\/p>\n
Enfin on note que \\(\\bar{1} \\cdot \\bar{d} \\cdot \\bar{d^2} = \\bar{1}+\\bar{d}+\\bar{d^2} = \\text{Id}_{\\mathbf{Z}\/D\\mathbf{Z}}\\).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Le champ de Jouanolou de degr\u00e9 \\(d\\) est donn\u00e9 par \\[J_d(x,y,z) = y^d\\frac{\\partial}{\\partial x}+z^d\\frac{\\partial}{\\partial y}+x^d\\frac{\\partial}{\\partial z}.\\] La surface de Bogomolov dans \\(\\mathbf{P}_{\\mathbf{C}}^2\\) est d\u00e9finie en coordonn\u00e9es homog\u00e8nes par l’\u00e9quation \\[(\\mathcal{B}_d) : R \\cdot J_d = 0 \\quad i.e. \\quad x \\bar{y}^d + y \\bar{z}^d + z \\bar{x}^d = 0\\] LES SYM\u00c9TRIES du champ de Jouanolou … Continuer la lecture de « Le champ de Jouanolou »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-75","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/75","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=75"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/75\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":82,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/75\/revisions\/82"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=75"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}