{"id":598,"date":"2017-02-27T11:20:12","date_gmt":"2017-02-27T10:20:12","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=598"},"modified":"2017-02-27T11:54:01","modified_gmt":"2017-02-27T10:54:01","slug":"une-famille-de-feuilletages-dyadiques-de-type-hirsch","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/une-famille-de-feuilletages-dyadiques-de-type-hirsch\/","title":{"rendered":"Une famille de feuilletages dyadiques de type Hirsch"},"content":{"rendered":"<p><strong>IL FAUT REFAIRE LES IMAGES<\/strong><\/p>\n<p>Donnons nous un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration \\( \\{D, h_1, h_2\\}\\), o\u00f9 \\(D\\) est un disque ferm\u00e9 et o\u00f9 \\( h_k:D \\rightarrow D\\) dont des immersions d&rsquo;images disjointes. Nous ne supposons pas ici que ces immersions sont holomorphes.<\/p>\n<p>Consid\u00e9rons alors les tores<\/p>\n<p>\\[ T_k := \\frac{D\\setminus h_k (\\text{Int}D)}{\\partial D\\sim h_k(\\partial D)},\\]<\/p>\n<p>o\u00f9 l&rsquo;identification \\(\\sim\\) se fait par \\( h_k \\), et donnons nous un diff\u00e9omorphisme \\(\\Phi : T_1 \\rightarrow T_2 \\) qui en restriction \u00e0 \\( h_2(D) \\subset T_1\\) est l&rsquo;application<\/p>\n<p>\\[ \\Phi _{h_2(D)\\subset T_1} = h_1\\circ h_2^{-1}: h_2(D)\\subset T_1\\rightarrow h_1(D)\\subset T_2 . \\]<\/p>\n<p>Dans ce bloc nous expliquons la construction d&rsquo;une vari\u00e9t\u00e9 close \\(W\\) de dimension trois, munie de deux feuilletages transverses \\(\\mathcal G\\) et \\(\\mathcal H\\) de dimension respectives un et deux, avec \\(\\mathcal H\\) \u00a0transversalement dyadique. Cette structure induit donc une structure dyadique sur chaque feuille de \\(\\mathcal G\\). Le feuilletage dyadique \\(\\mathcal H\\) s&rsquo;obtient par chirurgie \u00ab\u00a0longitudinale\u00a0\u00bb<sup id=\"footnote_plugin_tooltip_1\" class=\"footnote_plugin_tooltip_text\" onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_reference_1');\">1)<\/sup><span class=\"footnote_tooltip\" id=\"footnote_plugin_tooltip_text_1\">Voici ce que l&rsquo;on entend par chirurgie longitudinale le long d&rsquo;un feuilletage. Prenons une vari\u00e9t\u00e9 \u00e9quip\u00e9e d&rsquo;un feuilletage de codimension un transversalement orient\u00e9, et consid\u00e9rons un domaine \u00e0 bord lisse contenu dans une feuille du feuilletage, qui localement s\u00e9pare la vari\u00e9t\u00e9 en deux. Consid\u00e9rons un diff\u00e9omorphisme de ce domaine qui fixe le bord. On coupe la vari\u00e9t\u00e9 le long de ce domaine, et on recolle la partie sup\u00e9rieure \u00e0 la partie inf\u00e9rieure via le diff\u00e9omorphisme, pour obtenir une nouvelle vari\u00e9t\u00e9 feuillet\u00e9e. Attention, apr\u00e8s une chirurgie de ce type, on peut \u00e9ventuellement perdre certaines structures du feuilletage original. Par exemple, si le feuilletage original est lisse, alors le feuilletage obtenu apr\u00e8s cette op\u00e9ration sera seulement lisse par morceaux. <\/span><script type=\"text\/javascript\">\tjQuery(\"#footnote_plugin_tooltip_1\").tooltip({\t\ttip: \"#footnote_plugin_tooltip_text_1\",\t\ttipClass: \"footnote_tooltip\",\t\teffect: \"fade\",\t\tfadeOutSpeed: 100,\t\tpredelay: 400,\t\tposition: \"top right\",\t\trelative: true,\t\toffset: [10, 10]\t});<\/script> le long du\u00a0<a href=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/le-feuilletage-de-hirsch\/\">feuilletage de Hirsch.<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Partons du produit du pantalon \\(\u00a0D\\setminus ( h_1(\\text{Int} D) \\cup h_2 (\\text{Int} D) ) \\) par l&rsquo;intervalle \\( [0, 1] \u00a0\\), repr\u00e9sent\u00e9 sur la figure<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-305 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_102009_resized-e1487669072168-169x300.jpg\" alt=\"\" width=\"169\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_102009_resized-e1487669072168-169x300.jpg 169w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_102009_resized-e1487669072168-768x1365.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_102009_resized-e1487669072168-576x1024.jpg 576w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_102009_resized-e1487669072168.jpg 1377w\" sizes=\"auto, (max-width: 169px) 85vw, 169px\" \/><\/p>\n<p>Le feuilletage vertical sera\u00a0<em>a posteriori<\/em>\u00a0notre feuilletage \\(\\mathcal G\\), et le feuilletage horizontal par pantalons sera notre feuilletage \\(\\mathcal H\\), la structure transversalement dyadique \u00e9tant la structure dyadique standard sur l&rsquo;intervalle \\([0,1]\\).<\/p>\n<p>Prenons le quotient de ce produit par les identifications<\/p>\n<p>\\( \u00a0 \u00a0 ( z, t ) \\sim ( h_2(z) , 2t) \\text{ \u00a0si \u00a0} (z,t) \\in \\partial D \\times [0,1\/2], \\)<\/p>\n<p>et<\/p>\n<p>\\( \u00a0 \u00a0 ( z, t ) \\sim ( h_1 (z) , 2t-1) \\text{ \u00a0si \u00a0} (z,t) \\in \\partial D \\times [1\/2, 1]. \\)<\/p>\n<p>On obtient alors une vari\u00e9t\u00e9 de dimension trois compacte \u00e0 bord et \u00e0 coin, que l&rsquo;on note \\(V\\). Pour voir cela, on observe qu&rsquo;il y a seulement deux types de points qui posent probl\u00e8me. Les premiers sont les points de \\( \\partial D \\times \\{0, 1\\} \\). Dans le quotient \\(V\\) ces points sont des points appartenant \u00e0 la partie lisse du bord de \\(V\\), comme on peut le constater en visualiser l&rsquo;illustration suivante<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-316 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_105502_resized-169x300.jpg\" alt=\"\" width=\"169\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_105502_resized-169x300.jpg 169w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_105502_resized-768x1365.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_105502_resized-576x1024.jpg 576w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_105502_resized.jpg 1377w\" sizes=\"auto, (max-width: 169px) 85vw, 169px\" \/><\/p>\n<p>Les points du deuxi\u00e8me type sont les points de\u00a0\\( \\partial D \\times \\{1\/2\\} \\) et sont les plus compliqu\u00e9s. Dans le quotient, ces points appartiennent \u00e0 un coin, comme le montre la figure<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-320 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_113220_resized-300x169.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_113220_resized-300x169.jpg 300w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_113220_resized-768x432.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_113220_resized-1024x576.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Il s&rsquo;agit en fait d&rsquo;un coin d&rsquo; \u00ab\u00a0angle\u00a0\u00bb \\(2\\pi\\), o\u00f9 la surface sup\u00e9rieure (en vert sur la figure)<\/p>\n<p>\\[ \\Sigma ^+ := \\frac{D\\setminus ( h_1(\\text{Int} D) \\cup h_2 (\\text{Int} D) ) \\times \\{1\\}}{ \\partial D \\times \\{1\\} \\sim h_1(\\partial D) \\times\u00a0\u00a0\\{1\\} }\\]<\/p>\n<p>(o\u00f9 \\(\\sim\\) d\u00e9signe ici l&rsquo;application \\( (h_1 ,2t-1) \\) )<\/p>\n<p>rencontre la surface inf\u00e9rieure (en bleue sur la figure)<\/p>\n<p>\\[ \\Sigma ^- := \\frac{D\\setminus ( h_1(\\text{Int} D) \\cup h_2 (\\text{Int} D) ) \\times \\{0\\}}{ \\partial D \\times \\{0\\} \\sim h_2(\\partial D) \\times\u00a0\u00a0\\{0\\} }\\]<\/p>\n<p>(idem\u00a0\\(\\sim\\) d\u00e9signe ici l&rsquo;application \\( (h_2 ,2t) \\) )<\/p>\n<p>le long de la courbe ferm\u00e9e simple \\( \\partial D \\times \\{1\/2\\} \\).<\/p>\n<p>Or la surface \u00e0 bord \\( \\Sigma ^+\\) \u00a0(resp.\u00a0\\( \\Sigma ^-\\)) est naturellement identifi\u00e9e \u00e0 \\( T_1 \\setminus h_2(\\text{Int}D) \\) (resp. \u00a0\u00e0 \\( T_2 \\setminus h_1(\\text{Int}D) \\)). Via ces identifications les bords communs des surfaces \\(\\Sigma^{\\pm}\\) se recollent via l&rsquo;application \\( h_1\\circ h_2^{-1} \\) appliquant \\(\u00a0h_2 (\\partial D )\\sim \u00a0\\partial \\Sigma^+\\) sur \\(h_1(\\partial D )\\sim \\partial \\Sigma^-\\).<\/p>\n<p>On peut alors recoller entre elles les surfaces \\(\\Sigma^{\\pm}\\)\u00a0\u00a0via le diff\u00e9omorphisme \\(\\Phi : \\Sigma^+\\rightarrow \\Sigma^-\\) pour obtenir une vari\u00e9t\u00e9 de dimension trois ferm\u00e9e \\(W\\).\u00a0Ce faisant, on obtient sur \\(W\\) \u00a0deux \u00a0feuilletages \\(\\mathcal G\\) et \\(\\mathcal H\\), qui sont respectivement les quotients du feuilletage vertical et du feuilletage horizontal dans le produit du pantalon par l&rsquo;intervalle original. Le feuilletage \\(\\mathcal G\\) admet une structure transverse dyadique qu&rsquo;il h\u00e9rite de la structure dyadique standard sur l&rsquo;intervalle \\([0,1]\\). La construction est achev\u00e9e.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Le feuilletage \\(\\mathcal H\\) est un \u00ab\u00a0cousin\u00a0\u00bb du\u00a0<a href=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/le-feuilletage-de-hirsch\/\">feuilletage de Hirsch<\/a>\u00a0associ\u00e9 \u00e0 l&rsquo;endomorphisme \\( f= 2t\\). En effet, consid\u00e9rons un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration sur le disque unit\u00e9 qui soit tel que \\( h_2 = i\\circ h_1\\), o\u00f9 \\( i : D\\rightarrow D \\) est une involution pr\u00e9servant l&rsquo;orientation avec un unique point fixe en dehors des images des \\(h_k\\). \u00a0Consid\u00e9rons \u00e9galement un diff\u00e9omorphisme \\( \\Phi : D\\rightarrow D\\) qui soit \u00e9gal \u00e0 l&rsquo;identit\u00e9 pr\u00e8s de \\(\\partial D\\) et \u00e0 \\(i\\) sur un voisinage de l&rsquo;union des \\(h_k(D)\\) (un demi-twist de Dehn le long de \\(\\partial D\\) par exemple). Ce diff\u00e9omorphisme induit naturellement un diff\u00e9omorphisme de \\( T_1 \\) dans \\(T_2 \\) \u00a0qui est \u00e9gal \u00e0 \\(h_1\\circ h_2^{-1}\\) en restriction \u00e0 \\(h_2(D)\\subset T_1\\). La vari\u00e9t\u00e9 feuillet\u00e9e \\(W\\) obtenue en recollant \\(\\Sigma^-\\) \u00e0 \\(\\Sigma^+\\) via ce diff\u00e9omorphisme est le feuilletage de Hirsch construit\u00a0<a href=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/le-feuilletage-de-hirsch\/\">ici.<\/a>\u00a0 \u00a0En particulier, toutes les feuilles de \\(\\mathcal H\\) sont denses dans \\(W\\).<\/p>\n<div class=\"footnote_container_prepare\">\t<p><span onclick=\"footnote_expand_reference_container();\">References<\/span><span style=\"display: none;\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;[ <a id=\"footnote_reference_container_collapse_button\" style=\"cursor:pointer;\" onclick=\"footnote_expand_collapse_reference_container();\">+<\/a> ]<\/span><\/p><\/div><div id=\"footnote_references_container\" style=\"\">\t<table class=\"footnote-reference-container\">\t\t<tbody>\t\t<tr>\t<td class=\"footnote_plugin_index\"><span id=\"footnote_plugin_reference_1\">1.<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_link\"><span onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_tooltip_1');\">&#8593;<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_text\">Voici ce que l&rsquo;on entend par chirurgie longitudinale le long d&rsquo;un feuilletage. Prenons une vari\u00e9t\u00e9 \u00e9quip\u00e9e d&rsquo;un feuilletage de codimension un transversalement orient\u00e9, et consid\u00e9rons un domaine \u00e0 bord lisse contenu dans une feuille du feuilletage, qui localement s\u00e9pare la vari\u00e9t\u00e9 en deux. Consid\u00e9rons un diff\u00e9omorphisme de ce domaine qui fixe le bord. On coupe la vari\u00e9t\u00e9 le long de ce domaine, et on recolle la partie sup\u00e9rieure \u00e0 la partie inf\u00e9rieure via le diff\u00e9omorphisme, pour obtenir une nouvelle vari\u00e9t\u00e9 feuillet\u00e9e. Attention, apr\u00e8s une chirurgie de ce type, on peut \u00e9ventuellement perdre certaines structures du feuilletage original. Par exemple, si le feuilletage original est lisse, alors le feuilletage obtenu apr\u00e8s cette op\u00e9ration sera seulement lisse par morceaux. <\/td><\/tr>\t\t<\/tbody>\t<\/table><\/div><script type=\"text\/javascript\">\tfunction footnote_expand_reference_container() {\t\tjQuery(\"#footnote_references_container\").show();        jQuery(\"#footnote_reference_container_collapse_button\").text(\"-\");\t}    function footnote_collapse_reference_container() {        jQuery(\"#footnote_references_container\").hide();        jQuery(\"#footnote_reference_container_collapse_button\").text(\"+\");    }\tfunction footnote_expand_collapse_reference_container() {\t\tif (jQuery(\"#footnote_references_container\").is(\":hidden\")) {            footnote_expand_reference_container();\t\t} else {            footnote_collapse_reference_container();\t\t}\t}    function footnote_moveToAnchor(p_str_TargetID) {        footnote_expand_reference_container();        var l_obj_Target = jQuery(\"#\" + p_str_TargetID);        if(l_obj_Target.length) {            jQuery('html, body').animate({                scrollTop: l_obj_Target.offset().top - window.innerHeight\/2            }, 1000);        }    }<\/script>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>IL FAUT REFAIRE LES IMAGES Donnons nous un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration \\( \\{D, h_1, h_2\\}\\), o\u00f9 \\(D\\) est un disque ferm\u00e9 et o\u00f9 \\( h_k:D \\rightarrow D\\) dont des immersions d&rsquo;images disjointes. Nous ne supposons pas ici que ces immersions sont holomorphes. Consid\u00e9rons alors les tores \\[ T_k := \\frac{D\\setminus h_k (\\text{Int}D)}{\\partial D\\sim h_k(\\partial D)},\\] o\u00f9 &hellip; <a href=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/une-famille-de-feuilletages-dyadiques-de-type-hirsch\/\" class=\"more-link\">Continuer la lecture<span class=\"screen-reader-text\"> de &laquo;&nbsp;Une famille de feuilletages dyadiques de type Hirsch&nbsp;&raquo;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-598","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/598","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=598"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/598\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":611,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/598\/revisions\/611"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=598"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}