\n<\/strong><\/p>\n
<\/p>\n
Soit \\( \\{D,h_1,h_2 \\}\\) un syst\u00e8me d’it\u00e9ration sur un disque ferm\u00e9 \\( D\\) tel que les images de \\(h_1\\) et \\(h_2\\) sont disjointes. Donnons nous un diff\u00e9omorphisme pr\u00e9servant l’orientation<\/p>\n
\\[ \\Phi : T_1 \\rightarrow T_2 \\]<\/p>\n
qui soit \u00e9gal \u00e0 \\( h_1 \\circ h_2^{-1} \\) en restriction \u00e0 \\( h_2(D) \\subset T_1\\). Nous ne supposons pas \u00e0 ce niveau que \\( \\Phi\\) soit holomorphe.<\/p>\n
Ici\u00a0<\/a>, nous avons construit une vari\u00e9t\u00e9 de dimension trois ferm\u00e9e \\(W\\), associ\u00e9e \u00e0 \\( \\{D, h_1, h_2, \\Phi \\} \\). Nous nous proposons ici de calculer son groupe fondamental, et d’en d\u00e9duire son premier groupe d’homologie \u00e0 coefficients entiers.<\/p>\n Rappelons que la vari\u00e9t\u00e9 \\( W\\) est le quotient de la vari\u00e9t\u00e9 \\(V\\) par l’identification de \\(\\Sigma^-\\) \u00e0 \\( \\Sigma^+ \\) via \\(\\Phi\\). Nous renvoyons\u00a0ici<\/a>\u00a0pour la construction de \\(V\\). Une pr\u00e9sentation du groupe fondamental de \\(V\\) est donn\u00e9e par<\/p>\n \\[ \\pi_1(V, p) : = < \u00a0a_1, a_2, \\gamma_1, \\gamma_2\\ \u00a0|\\ \u00a0\\gamma_1 a_1 a_2 \\gamma_1^{-1} = a_1,\\ \u00a0\\gamma_2 a_1 a_2 \\gamma_2^{-1} = a_2>. \\]<\/p>\n Les lacets \\( a_1, a_2, \\gamma_1,\\gamma_2\\) sont repr\u00e9sent\u00e9s sur la figure suivante, le point \\(p\\) \u00e9tant la classe dans \\(V \\) du gros point noir.<\/p>\n Les groupes fondamentaux \u00a0des surfaces \\(\\Sigma^{\\pm}\\) sont des groupes non ab\u00e9liens libres en deux lettres respectivement engendr\u00e9s par<\/p>\n \\[ \\pi_1(\\Sigma^- , p) : = < \u00a0A^-= \\gamma_2^{-1} a_1^{-1} \\gamma_2 , B^- = \\gamma_2^{-1} \\gamma_1^{-1} \\gamma_2 > \\]<\/p>\n et<\/p>\n \\[ \\pi_1(\\Sigma^+, p) : = < \u00a0A^+= \\gamma_1^{-1} \\gamma_2^{-1} \\gamma_1, B^+ = \\gamma_1^{-1} a_2 \\gamma_1 > \\]<\/p>\n Le lecteur pourra v\u00e9rifier que l’intersection \\(\\Sigma^- \\cap\\Sigma^+ \\) est un cercle (contenant \\(p\\)) qui dans le groupe fondamental de \\(V\\) est donn\u00e9 par l’\u00e9l\u00e9ment<\/p>\n \\[ [ A^+, B^+] = [A^-, B^-] = a_1 a_2 , \\]<\/p>\n o\u00f9 l’on note \\([a,b] = aba^{-1}b^{-1}\\). Les images par \\(\\Phi\\) des classes \\(A^-\\) et \\(B^-\\) sont des mots en \\(A^+ \\) et \\(B^+\\) que l’on \u00e9crit<\/p>\n \\[ \\Phi _*A^- = \\tau (A^+) \\text{ et } \\Phi_* B^- =\u00a0\\tau (B^+) \\]<\/p>\n o\u00f9 \\(\\tau \\) est un automorphisme du groupe non ab\u00e9lien libre en les lettres \\( A, B\\). Une pr\u00e9sentation du groupe fondamental de \\(W\\) est donc<\/p>\n \\[ \\pi _1(W, p) = \u00a0< \u00a0a_1, a_2, \\gamma_1, \\gamma_2\\ \u00a0| \\]<\/p>\n \\[ \\gamma_1 a_1 a_2 \\gamma_1^{-1} = a_1, \\ \u00a0\\gamma_2 a_1 a_2 \\gamma_2^{-1} = a_2,\\ \u00a0A^- = \\tau (A^+),\\ \u00a0B^- = \\tau ( B^+) >. \\]<\/p>\n L’automorphisme \\(\\tau \\) \u00a0d\u00e9termine compl\u00e8tement \u00a0la classe d’isotopie de \\( \\Phi \\). Il satisfait la relation<\/p>\n \\[ \u00a0[ \\tau \u00a0(A), \\tau (B)] = [A, B] \u00a0\\]<\/p>\n et c’est l’unique contrainte pour qu’il apparaisse pour un certain diff\u00e9omorphisme \\(\\Phi\\). \u00a0Le\u00a0sous-groupe des automorphismes du groupe non ab\u00e9lien libre en deux lettres qui satisfont cette \u00e9quation est engendr\u00e9 par les deux transformations<\/p>\n \\[ (A, B) \\mapsto (AB, A^{-1}) \\text{ et } (A,B) \\mapsto (ABA^{-1} , A^{-1}) \\]<\/p>\n En prenant tous les mots en ces deux automorphismes, on obtiendra des pr\u00e9sentations pour tous les groupes fondamentaux des vari\u00e9t\u00e9s \\(W\\) possibles. Un des exemples les plus simples est<\/p>\n \\[\u00a0< \u00a0a_1, a_2, \\gamma_1, \\gamma_2\\ |\\ \\gamma_1 a_1 a_2 \\gamma_1^{-1} = a_1, \u00a0\\ \\gamma_2 a_1 a_2 \\gamma_2^{-1} = a_2, \\]<\/p>\n \\[ \\gamma_2^{-1} a_1^{-1} \\gamma_2\u00a0= \\gamma_1^{-1} \\gamma_2^{-1} a_2 \\gamma_1 , \\ \\gamma_2^{-1} \\gamma_1^{-1} \\gamma_2\u00a0= \\gamma_1^{-1} \\gamma_2 \\gamma_1\u00a0> \\]<\/p>\n mais la complexit\u00e9 devient tr\u00e8s importante (exponentielle) en la longueur du mot \\(\\tau\\).<\/p>\n D\u00e9duisons de ce calcul l’homologie de la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\), ce qui par dualit\u00e9, revient \u00e0 calculer le groupe \\( H_1(W, \\mathbb Z) \\). Ce dernier est engendr\u00e9 par les classes<\/p>\n \\[ [a_1] \u00a0,\u00a0[a_2],\u00a0[\\gamma_1],\u00a0[\\gamma_2] \\]<\/p>\n avec les relations<\/p>\n \\[ [a_1]=[a_2]=0, \\ \\ \u00a0[A^- ]= \\alpha [A^+] + \\beta [B^+],\\ \\ \u00a0 [B^-] = \\gamma [A^+]+\\delta [B^+], \\]<\/p>\n o\u00f9 ici<\/p>\n \\[ \\begin{pmatrix}\u00a0\\alpha & \\gamma \\\\\u00a0\\beta & \\delta\u00a0\\end{pmatrix}\\]<\/p>\n d\u00e9signe la matrice\u00a0de \\(\\text{SL}(2,\\mathbb Z) \\) repr\u00e9sentant l’action de \\( \\tau_* \\) sur l’ab\u00e9lianis\u00e9 du groupe libre \u00e0 deux g\u00e9n\u00e9rateurs, dans la base \\( ([A], [B])\\).<\/p>\n Des relations<\/p>\n \\[ [A^-] = -[a_1] ,\\ \\ [B^- ] = -[\\gamma_1] , \\ \\ [A^+] =\u00a0-[\\gamma_2], \\ \\ [B^+]= [a_2] , \\]<\/p>\n nous d\u00e9duisons les relations<\/p>\n \\[ [a_1]=[a_2]=0 , \\ \\ \\alpha [\\gamma_2] =0, \\ \\\u00a0[\\gamma_1]= \\gamma\u00a0[\\gamma_2] , \\]<\/p>\n ce qui montre que \\( H_1 (W, \\mathbb Z) \\) est isomorphe \u00e0 \\(\\mathbb Z\/ \\alpha \\mathbb Z\\).<\/p>\n Observons que le coefficient \\( \\alpha \\) est l’intersection homologique<\/p>\n \\[ \\tau (A^+) \\cdot B^+ = \\Phi_* A^- \\cdot B^+ \\]<\/p>\n Comme dans le tore \\( T_1\\) la courbe \\(A^-\\) est homologue \u00e0 l’oppos\u00e9 de la courbe \\(\\partial D\\), et que de m\u00eame dans le tore\u00a0\\( T_2\\) la courbe \\(B^+\\) est homologue \u00e0 la courbe \\(\\partial D\\), on obtient l’\u00e9quation<\/p>\n \\[ \\alpha = – \\Phi _* [\\partial D]_1 \\cdot [\\partial\u00a0D ]_2 ,\\]<\/p>\n o\u00f9 l’on note ici \\( [\\partial D] _k \\in H_1(T_k, \\mathbb Z)\\) la classe d’homologie du quotient de \\(\\partial D\\) dans \\(T_k\\).<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" REDEFINIR LES NOTATIONS et REFAIRE LES DESSINS Soit \\( \\{D,h_1,h_2 \\}\\) un syst\u00e8me d’it\u00e9ration sur un disque ferm\u00e9 \\( D\\) tel que les images de \\(h_1\\) et \\(h_2\\) sont disjointes. Donnons nous un diff\u00e9omorphisme pr\u00e9servant l’orientation \\[ \\Phi : T_1 \\rightarrow T_2 \\] qui soit \u00e9gal \u00e0 \\( h_1 \\circ h_2^{-1} \\) en … Continuer la lecture de « Groupes fondamentaux des vari\u00e9t\u00e9s \\(W\\) »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-573","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/573","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=573"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/573\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":636,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/573\/revisions\/636"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=573"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_102009_resized-e1487669072168-169x300.jpg\")
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