{"id":564,"date":"2017-02-26T19:12:00","date_gmt":"2017-02-26T18:12:00","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=564"},"modified":"2017-03-29T13:46:17","modified_gmt":"2017-03-29T11:46:17","slug":"le-theoreme-de-linearisation-de-poincare","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/le-theoreme-de-linearisation-de-poincare\/","title":{"rendered":"Th\u00e9or\u00e8me de lin\u00e9arisation"},"content":{"rendered":"

Nous \u00e9non\u00e7ons et d\u00e9montrons le th\u00e9or\u00e8me de lin\u00e9arisation de Poincar\u00e9.<\/span><\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/span><\/p>\n

Soit \\(X\\) un champ de vecteurs dans \\(\\mathbf{C}^2\\) singulier en l’origine \\( (0,0) \\) et tel que, pour tout point \\( (x,y) \\) au voisinage\u00a0de la singularit\u00e9, on ait<\/p>\n

\\[X(x,y) = (ax+by+\\cdots, cy+dz+\\cdots).\\]<\/p>\n

Si les valeurs propres complexes \\(\\lambda_1\\) et \\(\\lambda_2\\) de la matrice\u00a0\\(\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\\\ \\end{pmatrix}\\) sont telles que \\(\\lambda = \\lambda_1 \/ \\lambda_2\\) n’est pas r\u00e9el, alors il existe un changement de coordonn\u00e9es analytiques tel que l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \\(\\dot{X} = X\\) s’\u00e9crive, dans ces nouvelles coordonn\u00e9es, sous la forme\u00a0\\(\\dot{X} = X_\\lambda\\).<\/p>\n

Nous \u00e9non\u00e7ons un\u00a0th\u00e9or\u00e8me de Brunella.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/span><\/p>\n

\u00c9tant donn\u00e9 un feuilletage induit par un champ de vecteurs holomorphe au voisinage de l’origine de \\(\\mathbf{C}^2\\) et ayant une singularit\u00e9 en l’origine, il est transverse \u00e0 une sph\u00e8re \\(\\mathbf{S}^3\\) de petit rayon ssi il est lin\u00e9arisable, avec les valeurs propres qui v\u00e9rifient les conditions que l’on vient de discuter (elles sont soit lin\u00e9airement ind\u00e9pendantes sur \\(\\mathbf{R}\\), soit leur quotient est strictement positif).<\/p>\n

Un cas particulier du th\u00e9or\u00e8me de Brunella-Ghys<\/h4>\n

Si l’on a un feuilletage transversalement holomorphe sur une 3 vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e, qui admet deux orbites p\u00e9riodiques hyperboliques (une attractive et l’autre r\u00e9pulsive) telles que toutes les autres orbites ont pour omega et alpha limite ces deux orbites, alors la vari\u00e9t\u00e9 est soit un espace lenticulaire soit S^1\\times S^2, et le feuilletage est donn\u00e9 par le quotient d’une singularit\u00e9 hyperbolique dans le cas des espaces lenticulaires, et dans le cas de S^1\\times S^2 d’une suspension au dessus du cercle d’un automorphisme hyperbolique de la sph\u00e8re de Riemann.<\/p>\n

<\/div>\n
Int\u00e9r\u00eat :<\/div>\n
La raison est que les feuilletages bords que l’on consid\u00e8re sont naturellement de ce type, donc ce serait tr\u00e8s instructif d’\u00e9crire \u00e7a bien ! (m\u00eame si c’est \u00e9videmment contenu dans Brunella Ghys)<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nous \u00e9non\u00e7ons et d\u00e9montrons le th\u00e9or\u00e8me de lin\u00e9arisation de Poincar\u00e9. Th\u00e9or\u00e8me Soit \\(X\\) un champ de vecteurs dans \\(\\mathbf{C}^2\\) singulier en l’origine \\( (0,0) \\) et tel que, pour tout point \\( (x,y) \\) au voisinage\u00a0de la singularit\u00e9, on ait \\[X(x,y) = (ax+by+\\cdots, cy+dz+\\cdots).\\] Si les valeurs propres complexes \\(\\lambda_1\\) et \\(\\lambda_2\\) de la matrice\u00a0\\(\\begin{pmatrix} … Continuer la lecture de « Th\u00e9or\u00e8me de lin\u00e9arisation »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-564","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/564","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=564"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/564\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":688,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/564\/revisions\/688"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=564"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}