D\u00e9monstration<\/span>\u00a0: Si \\( (x,y) \\) d\u00e9signe un point de\u00a0\\(\\mathbf{C}^2\\), la transversalit\u00e9 se traduit par la non-nullit\u00e9 du produit hermitien de \\( (x,y) \\) avec le champ de vecteurs \\(X_{\\lambda}\\) en ce point. Un calcul imm\u00e9diat\u00a0de ce produit hermitien\u00a0donne \\(|x|^2 + \\lambda |y|^2\\). CQFD.<\/p>\n Les feuilles\u00a0\\(\\mathcal{F}_{\\lambda}^1\\) et \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}^2\\) intersectent\u00a0la sph\u00e8re \\(\\mathbf{S}^3\\) le long de deux cercles \\(\\mathcal{C}_1\\) et \\(\\mathcal{C}_2\\) enlac\u00e9s. En effet, quitte \u00e0 rajouter l’origine, les feuilles\u00a0\\(\\mathcal{F}_1\\) et \\(\\mathcal{F}_2\\) sont les axes de \\(\\mathbf{C}^2\\), donc des droites vectorielles particuli\u00e8res. Les cercles\u00a0\\(\\mathcal{C}_1\\) et \\(\\mathcal{C}_2\\) sont donc deux cercles de la\u00a0fibration de Hopf<\/a>.<\/p>\n Pour tout point \\( (x_0, y_0) \\) de \\(\\mathbf{C}^2\\) en dehors des axes, l’intersection de la feuille \\(F_{(x_0, y_0)}\\)\u00a0avec la sph\u00e8re unit\u00e9\u00a0\\(\\mathbf{S}^3\\) est donn\u00e9e par l’\u00e9quation \\(|x(t)|^2+|y(t)|^2=1\\). Puisque \\(x(t)=x_0\\text{e}^t\\) et \\(y(t)=y_0\\text{e}^{\\lambda t}\\), en notant \\(t = t_1 + it_2\\), on a alors<\/p>\n \\[|x_0|^2 \\text{e}^{2t_1} + |y_0|^2 \\text{e}^{2(\\lambda_1 t_1 – \\lambda_2 t_2)} = 1,\\]<\/p>\n ce qui permet de r\u00e9\u00e9crire les fonctions coordonn\u00e9es\u00a0sous la forme<\/p>\n \\[x(t) = x_0 \\text{e}^{t_1}\\text{e}^{it_2} \\quad \\text{et} \\quad y(t) = \\frac{y_0}{|y_0|} \\sqrt{1-|x_0|^2\\text{e}^{2t_1}}\\text{e}^{i(\\lambda_1 t_1 – \\lambda_2 t_2)}.\\]<\/p>\n En passant \u00e0 la limite quand \\(t_1 \\longrightarrow -\\infty\\), on\u00a0obtient que<\/p>\n \\[x(t) \\longrightarrow 0 \\quad \\text{et} \\quad y(t) \\longrightarrow \\{\\text{e}^{i\\theta} \\, ; \\, \\theta \\in \\mathbf{R} \\}.\\]<\/p>\n On montre ainsi que le cercle\u00a0\\(\\mathcal{C}_2\\) est dans l’adh\u00e9rence de l’intersection cherch\u00e9e. En passant \u00e0 la limite quand \\(\\lambda_1 t_1 + \\lambda_2 t_2 \\longrightarrow -\\infty\\), on montre cette fois que le cercle\u00a0\\(\\mathcal{C}_1\\) est dans l’adh\u00e9rence de l’intersection.<\/p>\n R\u00e9sum\u00e9<\/span><\/p>\n Pour tout point \\( (x_0, y_0) \\) de \\(\\mathbf{C}^2\\) en dehors des axes, l’intersection de la feuille \\(F_{(x_0, y_0)}\\)\u00a0avec la sph\u00e8re unit\u00e9\u00a0\\(\\mathbf{S}^3\\) \u00a0est une vari\u00e9t\u00e9 r\u00e9elle de dimension 1, connexe donc diff\u00e9omorphe \u00e0 \\(\\mathbf{R}\\). La sph\u00e8re \\(\\mathbf{S}^3\\) est donc munie d’un feuilletage par courbes r\u00e9elles ayant deux orbites p\u00e9riodiques\u00a0\\(\\mathcal{C}_1\\) et\u00a0\\(\\mathcal{C}_2\\) enlac\u00e9es (ce sont des cercles de Hopf) ; toute autre feuille de ce feuilletage a pour \\(\\alpha\\)-limite l’une de ces orbites p\u00e9riodiques et pour \\(\\omega\\)-limite l’autre.<\/span><\/p>\n Nous allons nous int\u00e9resser\u00a0\u00e0 l’intersection du feuilletage \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) avec la sph\u00e8re unit\u00e9 \\(\\mathbf{S}^3\\) (pour la norme euclidienne) dans\u00a0\\(\\mathbf{C}^2\\). Lemme\u00a0:\u00a0Pour tout \\(r\\) strictement positif, le feuilletage\u00a0\\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) est transverse \u00e0 la\u00a0sph\u00e8re de rayon \\(r\\). D\u00e9monstration\u00a0: Si \\( (x,y) \\) d\u00e9signe un point de\u00a0\\(\\mathbf{C}^2\\), la transversalit\u00e9 se traduit par la non-nullit\u00e9 du produit hermitien de \\( (x,y) \\) … Continuer la lecture de « Le feuilletage induit par \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) sur la sph\u00e8re \\(\\mathbf{S}^3\\) »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-534","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/534","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=534"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/534\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":535,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/534\/revisions\/535"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=534"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/singularite-lineaire-1024x576.png\")
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