Remarquons que l’origine \\( (0,0) \\) de\u00a0\\(\\mathbf{C}^2\\) est l’unique singularit\u00e9 du champ de vecteurs \\(X_{\\lambda}\\).\u00a0On consid\u00e8re l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire<\/p>\n
\\[\\dot{X} = X_{\\lambda}\\]<\/p>\n
de condition initiale \\( (x_0, y_0) \\) dans\u00a0\\(\\mathbf{C}^2\\) ; la notation \\(\\dot{X}\\) d\u00e9signe la d\u00e9riv\u00e9e de \\(X\\) par rapport au param\u00e8tre complexe \\(t\\) que nous appellerons\u00a0temps complexe<\/em>\u00a0de l’\u00e9quation. Il est tr\u00e8s facile de r\u00e9soudre explicitement cette \u00e9quation diff\u00e9rentielle et on trouve, pour tout temps complexe \\(t\\),<\/p>\n \\[x(t) = x_0 \\text{e}^t \\quad \\text{et} \\quad y(t) = y_0 \\text{e}^{\\lambda t}.\\]<\/p>\n Bien entendu, si \\( (x_0, y_0) = (0, 0) \\), \u00a0l’unique solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle est la solution nulle en tout temps de fait de la singularit\u00e9 du champ de vecteurs \\(X_{\\lambda}\\). Notons \u00e9galement\u00a0deux autres solutions remarquables de l’\u00e9quation, les axes de coordonn\u00e9es \\(\\mathbf{C}^* \\times \\{0\\}\\) et\u00a0\\(\\{0\\} \\times \\mathbf{C}^*\\) ; on obtient ces solutions pour n’importe quelles conditions\u00a0initiales de la forme \\( (x_0, 0) \\) ou \\( (0, y_0) \\), avec \\(x_0\\) et \\(y_0\\) non nuls, comme cons\u00e9quence du fait que l’exponentielle est une fonction surjective de \\(\\mathbf{C}\\) sur \\(\\mathbf{C}^*\\).<\/p>\n Lemme<\/span><\/span>\u00a0:\u00a0<\/span>Si \\(x_0\\) et \\(y_0\\) sont non nuls, la solution<\/p>\n \\[t \\in \\mathbf{C} \\longmapsto (x_0 \\text{e}^t, y_0 \\text{e}^{\\lambda t}) \\in \\mathbf{C}^2\\]<\/p>\n de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \\(\\dot{X} = X_{\\lambda}\\) de condition initiale \\( (x_0, y_0) \\) est un\u00a0biholomorphisme de \\(\\mathbf{C}\\) sur son image.<\/p>\n D\u00e9monstration<\/span>\u00a0:\u00a0<\/span>Montrons que cette fonction est injective. En effet, si \\(t\\) et \\(t’\\) sont deux nombres complexes tels que<\/p>\n \\[x_0 \\text{e}^t = x_0 \\text{e}^{t’} \\quad \\text{et} \\quad y_0 \\text{e}^{\\lambda t} = y_0 \\text{e}^{\\lambda t’},\\]<\/p>\n on d\u00e9duit de la premi\u00e8re \u00e9quation que \\(t-t’\\) est un multiple de \\(i \\tau \\mathbf{Z}\\), et de la deuxi\u00e8me \u00e9quation que\u00a0\\(t-t’\\) est un multiple de \\(i \\frac{\\tau}{\\lambda} \\mathbf{Z}\\), ce qui est absurde si \\(t \\neq t’\\) puisque \\(\\lambda\\) n’est pas rationnel. L’unique point singulier de \\(X_{\\lambda}\\) n’\u00e9tant pas dans l’image de la solution consid\u00e9r\u00e9e, le th\u00e9or\u00e8me d’inversion locale permet de conclure la d\u00e9monstration du lemme.\u00a0CQFD.<\/p>\n R\u00e9sum\u00e9<\/span><\/p>\n Les solutions de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire ci-dessus d\u00e9finissent un feuilletage \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) de \\(\\mathbf{C}^2\\) ayant\u00a0une feuille singuli\u00e8re (l’origine de\u00a0\\(\\mathbf{C}^2\\)),\u00a0deux feuilles \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}^1\\) et \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}^2\\) biholomorphes \u00e0 \\(\\mathbf{C}^*\\),\u00a0et tel que\u00a0toutes les autres feuilles sont biholomorphes \u00e0 \\(\\mathbf{C}\\).<\/p>\n La sph\u00e8re de Riemann \\(\\mathbf{P}^1(\\mathbf{C})\\) est par d\u00e9finition le quotient de \\(\\mathbf{C}^{2,*}\\) par l’action diagonale de \\(\\mathbf{C}^*\\). Or nous avons vu que\u00a0\\(\\{(0,0)\\}\\) est une feuille (singuli\u00e8re) de\u00a0\\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\). En restriction \u00e0\u00a0\u00a0\\(\\mathbf{C}^{2,*}\\), \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) d\u00e9finit donc un feuilletage\u00a0qui passe au quotient en un feuilletage de\u00a0\\(\\mathbf{P}^1(\\mathbf{C})\\) du fait que \\(X_{\\lambda}\\) est un champ de vecteurs lin\u00e9aire (autrement dit homog\u00e8ne de degr\u00e9 1).<\/p>\n Les\u00a0feuilles \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}^1\\) et \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}^2\\) sont d’autant plus remarquables qu’elles sont en fait des orbites de\u00a0l’action diagonale de \\(\\mathbf{C}^*\\) sur\u00a0\\(\\mathbf{C}^{2,*}\\) : elles passent au quotient en deux feuilles singuli\u00e8res, les points \\(S_1\\) et \\(S_2\\). Toutes les autres feuilles de \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) se projettent sur la m\u00eame et unique feuille \\(F\\) qui est n’est autre que \\(\\mathbf{P}^1(\\mathbf{C}) \\setminus S_1 \\cup S_2\\). En effet, notons \\(\\mathbf{P}^1(\\mathbf{C}) =\u00a0\\mathbf{C} \\cup \\{\\infty\\}\\) et \\(\\pi :\u00a0\\mathbf{C}^2 \\setminus \\{(0,0)\\} \\longrightarrow \\mathbf{C} \\cup \\{\\infty\\}\\) l’application de passage au quotient par l’action de \\(\\mathbf{C}^*\\) d\u00e9finie par \\( (x,y) \\longmapsto y\/x\\).\u00a0Avec ce\u00a0choix de\u00a0coordonn\u00e9es sur la sph\u00e8re de Riemann, on a \\(S_1 = 0\\), \\(S_2 = \\infty\\). Soit\u00a0\\( (x_0, y_0) \\) un point de\u00a0\\(\\mathbf{C}^{2,*}\\) et \\(F_{(x_0, y_0)}\\) la feuille de \\(\\mathcal{F}_{\\lambda}\\) passant par ce point. L’image \\(\\pi(F_{(x_0, y_0)})\\) de \\(F_{(x_0, y_0)}\\) par \\(\\pi\\) est \u00e9gale \u00e0 \\(\\{\\frac{y_0}{x_0}\\text{e}^{(\\lambda-1)t} \\, ; \\, t \\in \\mathbf{C}\\} = \\mathbf{C}^*\\) une fois encore du fait de la surjectivit\u00e9 de l’exponentielle, plus pr\u00e9cis\u00e9ment de la fonction \\(t \\longmapsto \\text{e}^{(\\lambda-1)t}\\) dans ce cas.<\/p>\n