<\/p>\n
Etat d’\u00e9bauche<\/strong><\/p>\n <\/p>\n Soit \\( \\{D,h_1,h_2 \\}\\) un syst\u00e8me d’it\u00e9ration sur un disque ferm\u00e9 \\( D\\) tel que les images de \\(h_1\\) et \\(h_2\\) sont disjointes. Donnons nous un diff\u00e9omorphisme pr\u00e9servant l’orientation<\/p>\n \\[ \\Phi : T_1 \\rightarrow T_2 \\]<\/p>\n qui soit \u00e9gal \u00e0 \\( h_1 \\circ h_2^{-1} \\) en restriction \u00e0 \\( h_2(D) \\subset T_1\\). Nous ne supposons pas \u00e0 ce niveau que \\( \\Phi\\) soit holomorphe.<\/p>\n <\/p>\n Ici\u00a0<\/a>, nous avons construit une vari\u00e9t\u00e9 de dimension trois ferm\u00e9e \\(W\\), associ\u00e9e \u00e0 \\( \\{D, h_1, h_2, \\Phi \\} \\), qui est munie de surcro\u00eet de deux feuilletages transverses \\(\\mathcal G\\) et \\(\\mathcal H\\). De surcro\u00eet \\(\\mathcal H\\) est ransversalement dyadique. Rappelons que ce dernier s’obtient par chirurgie \u00ab\u00a0longitudinale\u00a0\u00bb de la vari\u00e9t\u00e9 feuillet\u00e9e de Hirsch<\/a>, et que par cons\u00e9quent toutes ses feuilles sont denses dans \\(W\\).<\/p>\n <\/p>\n Dans le cas o\u00f9 \\( \\Phi \\) est un biholomorphisme (et que donc l’\u00e9quation \\( (\\mathcal E) \\) <\/a>est satisfaite pour le syst\u00e8me \\( \\{D, h_1, h_2\\} \\)), nous avons montr\u00e9 ici que le feuilletage \\(\\mathcal G\\) est en fait une fibration de Seifert. Nous avons r\u00e9ciproquement<\/p>\n <\/p>\n Proposition :<\/strong> Supposons que la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) poss\u00e8de une fibration de Seifert. Alors, il existe un syst\u00e8me d’it\u00e9ration holomorphe \\( \\{D,h_1,h_2\\} \\) qui v\u00e9rifie l’\u00e9quation \\( (\\mathcal E) \\), et tel que \\(W= W_{\\{D,h_1,h_2\\}}\\). EST CE LE BON ENONCE ? N’est pas plut\u00f4t qu’on peut trouver une structure holomorphe sur (D) invariante par les \\(h_k\\) de sorte que \\(\\Phi\\) puisse \u00eatre isotop\u00e9 \u00e0 un biholomorphisme qui satisfait la condition \\( (\\mathcal E) \\).<\/span><\/p>\n D\u00e9monstration : Le r\u00e9sultat principal de la th\u00e8se de Thurston montre que l’on peut homotoper \\( \\mathcal H\\) \u00e0 un feuilletage transverse \u00e0 la fibration de Seifert. Consid\u00e9rons la feuille de \\(\\mathcal H\\) qui est l’union des pantalons \\( D \\setminus (h_1(D) \\cup h_2(D) ) \\times \\{x\\} \\), o\u00f9 \\(x\\) est un point dyadique de l’intervalle \\([0,1]\\). Notons la \\( F\\). La repr\u00e9sentation d’holonomie\u00a0 nous fournit une repr\u00e9sentation \u00e0 valeurs le pseudo-groupe de Thompson qui fixe l’origine. En particulier, en regardant les d\u00e9riv\u00e9es \u00e0 droite et \u00e0 gauche en l’origine, cette repr\u00e9sentation induit une repr\u00e9sentation<\/p>\n \\[\\pi_1 (F) \\rightarrow \\mathbb Z^2 .\\]<\/p>\n <\/p>\n Il est donc naturel de chercher \u00e0 classifier les classes d’isotopies de diff\u00e9omorphismes \\(\\Phi\\) telles que \\(W\\) est l’espace total d’une fibration de Seifert.<\/p>\n Le caract\u00e8re Seifert d’une vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e de dimension trois se d\u00e9tecte sur son groupe fondamental. La combinaison de travaux de Geoffrey Mess, Peter Scott et David Gabai permet de caract\u00e9riser les espaces ambiants d’une fibration de Seifert comme \u00e9tant les trois vari\u00e9t\u00e9s ferm\u00e9es dont le groupe fondamental poss\u00e8de un \u00e9l\u00e9ment central d’ordre infini, voir ici<\/a>. Le quotient par le centre est le groupe fondamental au sens orbifold de la base de la fibration.<\/p>\n <\/p>\n Une pr\u00e9sentation de \\(\\pi_1(W)\\) est calcul\u00e9e\u00a0ici<\/a>, et on peut essayer de l’utiliser pour trouver quelles sont les vari\u00e9t\u00e9s \\(W\\) qui sont des fibres de Seifert. Mais ce n’est pas si facile… Comment trouver un \u00e9l\u00e9ment non trivial du centre?<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Etat d’\u00e9bauche Soit \\( \\{D,h_1,h_2 \\}\\) un syst\u00e8me d’it\u00e9ration sur un disque ferm\u00e9 \\( D\\) tel que les images de \\(h_1\\) et \\(h_2\\) sont disjointes. 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