{"id":336,"date":"2017-02-21T14:28:41","date_gmt":"2017-02-21T13:28:41","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=336"},"modified":"2017-02-23T01:23:14","modified_gmt":"2017-02-23T00:23:14","slug":"le-feuilletage-de-hirsch","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/le-feuilletage-de-hirsch\/","title":{"rendered":"Le feuilletage de Hirsch"},"content":{"rendered":"<p>Nous d\u00e9crivons dans cette partie un feuilletage qui a \u00e9t\u00e9 design\u00e9 par Morris Hirsch.\u00a0<sup id=\"footnote_plugin_tooltip_1\" class=\"footnote_plugin_tooltip_text\" onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_reference_1');\">1)<\/sup><span class=\"footnote_tooltip\" id=\"footnote_plugin_tooltip_text_1\">M. Hirsch, A stable analytic foliation with only exceptional minimal sets. in Dynamical Systems, Warwick, 1974, Lect. Notes in Math., 468, Springer-Verlag, 1975, 9C10.<\/span><script type=\"text\/javascript\">\tjQuery(\"#footnote_plugin_tooltip_1\").tooltip({\t\ttip: \"#footnote_plugin_tooltip_text_1\",\t\ttipClass: \"footnote_tooltip\",\t\teffect: \"fade\",\t\tfadeOutSpeed: 100,\t\tpredelay: 400,\t\tposition: \"top right\",\t\trelative: true,\t\toffset: [10, 10]\t});<\/script><\/p>\n<p>On consid\u00e8re un endomorphisme du cercle \\( f :\\mathbb S^1 \\rightarrow \\mathbb S^1\\), qui est lisse et admet en tout point une d\u00e9riv\u00e9e strictement positive. On traite ici le cas o\u00f9 \\(f\\) est de degr\u00e9 deux.<\/p>\n<p>Consid\u00e9rons alors un plongement \\[ \u00a0g : D\\times \\mathbb S^1\\rightarrow D\\times \\mathbb S^1\\] du tore solide dans lui-m\u00eame qui induise \\(f\\) sur la seconde coordonn\u00e9e, c&rsquo;est \u00e0 dire que \\( p\\circ g = f\\circ p\\), o\u00f9 \\(p\\) est la projection \\( D\\times \\mathbb S^1 \\rightarrow \\mathbb S^1\\). Ici, \\( D\\) d\u00e9signe un disque ferm\u00e9 de dimension deux.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-339 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144036_resized-300x169.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144036_resized-300x169.jpg 300w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144036_resized-768x432.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144036_resized-1024x576.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>La vari\u00e9t\u00e9 \\( V:= \u00a0\u00a0D\\times \\mathbb S^1 \\setminus g (\\text{Int} (D\\times \\mathbb S^1)) \\) admet deux composantes de bord. Une ext\u00e9rieure : \\(\\partial ^{ext} V = \\partial D \\times \\mathbb S^1\\), \u00a0et l&rsquo;autre int\u00e9rieure : \\(\\partial ^{int} V =g( \\partial D \\times \\mathbb S^1) \\). La vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) obtenue \u00e0 partir de \\(V\\) en identifiant la composante ext\u00e9rieure avec la composante int\u00e9rieure via \\(g\\) est ferm\u00e9e.<\/p>\n<p>La fibration horizontale sur le tore solide \\(\u00a0\\partial D \\times \\mathbb S^1\\) induit une fibration par pantalons sur la vari\u00e9t\u00e9 \\( V\\), qui se restreint sur chaque composante de bord de \\(V \\) en une fibration en cercles. Le diff\u00e9omorphisme \\(g\\), envoie la fibration en cercles de \\(\\partial ^{ext} V \\) sur celle de\u00a0\\(\\partial ^{int} V \\). Ainsi, la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) admet la structure suppl\u00e9mentaire d&rsquo;un feuilletage par surfaces : le quotient de la fibration en pantalons sur \\(V\\). On l&rsquo;appellera le feuilletage de Hirsch et on le notera \\(\\mathcal H\\).<\/p>\n<p>Ses feuilles sont naturellement d\u00e9compos\u00e9es en une union de pantalons, qui sont recoll\u00e9s suivant la combinatoire des grandes orbites de \\(f\\). Si pour un point \\(x\\) du cercle \\(\\mathbb S^1\\), on note \\( \\Pi_x \\) la fibre de \\(x\\) par la restriction de la projection \\(p\\) \u00e0 \\(V\\), les feuilles de \u00a0\\(\\mathcal H\\) sont obtenues en recollant les pantalons \\(\\Pi_x\\) o\u00f9 \\(x\\) d\u00e9crit une grande orbite de \\(f\\), comme sur la figure suivante.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-345 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_150423_resized-300x169.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_150423_resized-300x169.jpg 300w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_150423_resized-768x432.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_150423_resized-1024x576.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Dans le cas o\u00f9 \\(f\\) est l&rsquo;endomorphisme \\( t\\mapsto 2t\\), toutes les feuilles de \\(\\mathcal H\\) \u00a0sont denses dans \\(W\\), car toutes les grandes orbites de \\(f\\) sont denses dans le cercle. Par contre, il peut arriver que pour d&rsquo;autres choix de \\(f\\), le feuilletage \\(\\mathcal H\\) ait un minimal exceptionnel. <sup id=\"footnote_plugin_tooltip_2\" class=\"footnote_plugin_tooltip_text\" onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_reference_2');\">2)<\/sup><span class=\"footnote_tooltip\" id=\"footnote_plugin_tooltip_text_2\"> Un minimal exceptionnel d&rsquo;un feuilletage de codimension un r\u00e9el est\u00a0un ensemble ferm\u00e9 invariant par le feuilletage, dans lequel toutes les feuilles sont denses, et qui est transversalement un ensemble de Cantor.<\/span><script type=\"text\/javascript\">\tjQuery(\"#footnote_plugin_tooltip_2\").tooltip({\t\ttip: \"#footnote_plugin_tooltip_text_2\",\t\ttipClass: \"footnote_tooltip\",\t\teffect: \"fade\",\t\tfadeOutSpeed: 100,\t\tpredelay: 400,\t\tposition: \"top right\",\t\trelative: true,\t\toffset: [10, 10]\t});<\/script> C&rsquo;est par exemple ce qui se passe si l&rsquo;on prend \\(f\\) comme ceci<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-346 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144058_resized-169x300.jpg\" alt=\"\" width=\"169\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144058_resized-169x300.jpg 169w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144058_resized-768x1365.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144058_resized-576x1024.jpg 576w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_144058_resized.jpg 1377w\" sizes=\"auto, (max-width: 169px) 85vw, 169px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Hirsch pr\u00e9tend que dans ce cas son feuilletage est \\(C^1\\)-stable, mais il semble y avoir un trou dans son argument : pourquoi apr\u00e8s perturbation, la restriction du feuilletage \u00e0 \\(\\partial ^{ext} V \\sim \u00a0\\partial ^{int} V \\) devrait \u00eatre une fibration en cercles comme il le pr\u00e9tend, et non un feuilletage quelconque du tore proche de la fibration ?<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Revenons au cas o\u00f9 \\(f=2t\\). Dans ce cas, \\(f\\) admet un unique point fixe \\(t=0\\). La feuille correspondant \u00e0 l&rsquo;orbite de \\(0\\) est l&rsquo;union de tous les pantalons dyadiques, comme l&rsquo;illustre la figure suivante<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-354 aligncenter\" src=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_152958_resized-169x300.jpg\" alt=\"\" width=\"169\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_152958_resized-169x300.jpg 169w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_152958_resized-768x1365.jpg 768w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_152958_resized-576x1024.jpg 576w, https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/wp-content\/uploads\/2017\/02\/20170221_152958_resized.jpg 1377w\" sizes=\"auto, (max-width: 169px) 85vw, 169px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Consid\u00e9rons le tore trou\u00e9 \\( T\\) qui est l&rsquo;image de \\(\\Pi_0\\) dans \\(W\\). En coupant la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) \u00a0le long de ce tore trou\u00e9, on obtient une vari\u00e9t\u00e9 \u00e0 bord et \u00e0 coin, qui admet pour bord une surface qui est l&rsquo;union de deux copies du tore trou\u00e9 \\(T\\) recoll\u00e9es le long de \\(\\partial T\\). On peut s&rsquo;amuser \u00e0 les recoller via un diff\u00e9omorphisme de \\(T\\) qui pr\u00e9serve l&rsquo;orientation et qui vaut l&rsquo;identit\u00e9 sur \\(\\partial T\\). On obtient une nouvelle vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e \u00e9quip\u00e9e d&rsquo;un feuilletage qui est un \u00ab\u00a0cousin\u00a0\u00bb du feuilletage de Hirsch. Le lecteur pourra retrouver cette construction <a href=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/flots-transversalement-holomorphes\/\">ici<\/a>.<\/p>\n<div class=\"footnote_container_prepare\">\t<p><span onclick=\"footnote_expand_reference_container();\">References<\/span><span style=\"display: none;\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;[ <a id=\"footnote_reference_container_collapse_button\" style=\"cursor:pointer;\" onclick=\"footnote_expand_collapse_reference_container();\">+<\/a> ]<\/span><\/p><\/div><div id=\"footnote_references_container\" style=\"\">\t<table class=\"footnote-reference-container\">\t\t<tbody>\t\t<tr>\t<td class=\"footnote_plugin_index\"><span id=\"footnote_plugin_reference_1\">1.<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_link\"><span onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_tooltip_1');\">&#8593;<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_text\">M. Hirsch, A stable analytic foliation with only exceptional minimal sets. in Dynamical Systems, Warwick, 1974, Lect. Notes in Math., 468, Springer-Verlag, 1975, 9C10.<\/td><\/tr><tr>\t<td class=\"footnote_plugin_index\"><span id=\"footnote_plugin_reference_2\">2.<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_link\"><span onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_tooltip_2');\">&#8593;<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_text\"> Un minimal exceptionnel d&rsquo;un feuilletage de codimension un r\u00e9el est\u00a0un ensemble ferm\u00e9 invariant par le feuilletage, dans lequel toutes les feuilles sont denses, et qui est transversalement un ensemble de Cantor.<\/td><\/tr>\t\t<\/tbody>\t<\/table><\/div><script type=\"text\/javascript\">\tfunction footnote_expand_reference_container() {\t\tjQuery(\"#footnote_references_container\").show();        jQuery(\"#footnote_reference_container_collapse_button\").text(\"-\");\t}    function footnote_collapse_reference_container() {        jQuery(\"#footnote_references_container\").hide();        jQuery(\"#footnote_reference_container_collapse_button\").text(\"+\");    }\tfunction footnote_expand_collapse_reference_container() {\t\tif (jQuery(\"#footnote_references_container\").is(\":hidden\")) {            footnote_expand_reference_container();\t\t} else {            footnote_collapse_reference_container();\t\t}\t}    function footnote_moveToAnchor(p_str_TargetID) {        footnote_expand_reference_container();        var l_obj_Target = jQuery(\"#\" + p_str_TargetID);        if(l_obj_Target.length) {            jQuery('html, body').animate({                scrollTop: l_obj_Target.offset().top - window.innerHeight\/2            }, 1000);        }    }<\/script>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nous d\u00e9crivons dans cette partie un feuilletage qui a \u00e9t\u00e9 design\u00e9 par Morris Hirsch.\u00a01)M. 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