{"id":294,"date":"2017-02-20T12:24:10","date_gmt":"2017-02-20T11:24:10","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=294"},"modified":"2017-02-28T23:49:14","modified_gmt":"2017-02-28T22:49:14","slug":"flots-transversalement-holomorphes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/flots-transversalement-holomorphes\/","title":{"rendered":"Flots transversalement holomorphes"},"content":{"rendered":"<p>Donnons nous un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration \\(\\{( D, h_1, h_2 ) \\}\\) v\u00e9rifiant l&rsquo;<a href=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/une-equation-fonctionnelle-sur-les-systemes-diterations\/\">\u00e9quation fonctionnelle<\/a> \\( (\\mathcal E) \\). On note \\(\\Phi : T_1 \\rightarrow T_2\\) le biholomorphisme qui induit en restriction \u00e0 \\( h_2(D)\\subset T_1 \\) la transformation<\/p>\n<p>\\[h_1\\circ h_2^{-1} : h_2(D) \\subset T_1 \\rightarrow h_1(D) \\subset T_2.\\]<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/une-famille-de-feuilletages-dyadiques-de-type-hirsch\/\">\u00a0Ici<\/a>\u00a0nous avons construit \u00e0 partir d&rsquo;une telle donn\u00e9e une vari\u00e9t\u00e9 ferm\u00e9e de dimension trois \\(W\\), \u00e9quip\u00e9e de deux feuilletages transverses \\(\\mathcal G\\) et \\(\\mathcal H\\), respectivement de dimension un et deux. \u00a0Le fait que la transformation \\(\\Phi\\) soit holomorphe nous permet de construire une structure transverse holomorphe invariante par holonomie sur le feuilletage \\(\\mathcal G\\). Nous allons voir que ce feuilletage est en fait une fibration de Seifert, en\u00a0appliquant la classification des flots transversalement holomorphes sur des trois vari\u00e9t\u00e9s ferm\u00e9es\u00a0d\u00fbe \u00e0 Marco Brunella et Etienne Ghys, voir la s\u00e9rie d&rsquo;articles <sup id=\"footnote_plugin_tooltip_1\" class=\"footnote_plugin_tooltip_text\" onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_reference_1');\">1)<\/sup><span class=\"footnote_tooltip\" id=\"footnote_plugin_tooltip_text_1\"><a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/umbilicalfoliations.pdf\">M. Brunella, E. Ghys.\u00a0<span class=\"title\">Umbilical foliations and transversely holomorphic flows.<\/span>\u00a0J. Diff. Geom. 41 (1995), no.1, 1-19.<\/a><\/span><script type=\"text\/javascript\">\tjQuery(\"#footnote_plugin_tooltip_1\").tooltip({\t\ttip: \"#footnote_plugin_tooltip_text_1\",\t\ttipClass: \"footnote_tooltip\",\t\teffect: \"fade\",\t\tfadeOutSpeed: 100,\t\tpredelay: 400,\t\tposition: \"top right\",\t\trelative: true,\t\toffset: [10, 10]\t});<\/script> <sup id=\"footnote_plugin_tooltip_2\" class=\"footnote_plugin_tooltip_text\" onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_reference_2');\">2)<\/sup><span class=\"footnote_tooltip\" id=\"footnote_plugin_tooltip_text_2\">M. Brunella. On transversely holomorphic flows I. Invent. Math., vol. 126, issue 2, pp. 265-279.\u00a0<\/span><script type=\"text\/javascript\">\tjQuery(\"#footnote_plugin_tooltip_2\").tooltip({\t\ttip: \"#footnote_plugin_tooltip_text_2\",\t\ttipClass: \"footnote_tooltip\",\t\teffect: \"fade\",\t\tfadeOutSpeed: 100,\t\tpredelay: 400,\t\tposition: \"top right\",\t\trelative: true,\t\toffset: [10, 10]\t});<\/script>\u00a0<sup id=\"footnote_plugin_tooltip_3\" class=\"footnote_plugin_tooltip_text\" onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_reference_3');\">3)<\/sup><span class=\"footnote_tooltip\" id=\"footnote_plugin_tooltip_text_3\"><a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/transverselyholomorphic.pdf\">E. Ghys. On transversely holomorphic flows II. Invent. math. 126, 281\u2013286 (1996)<\/a><\/span><script type=\"text\/javascript\">\tjQuery(\"#footnote_plugin_tooltip_3\").tooltip({\t\ttip: \"#footnote_plugin_tooltip_text_3\",\t\ttipClass: \"footnote_tooltip\",\t\teffect: \"fade\",\t\tfadeOutSpeed: 100,\t\tpredelay: 400,\t\tposition: \"top right\",\t\trelative: true,\t\toffset: [10, 10]\t});<\/script>.<\/p>\n<p>Avant de poursuivre l&rsquo;argumentation, commen\u00e7ons par observer que le feuilletage \\(\\mathcal H\\) n&rsquo;est pas <em>a priori<\/em> transversalement diff\u00e9rentiable. Par contre, le <a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/grouperemarquable.pdf\">proc\u00e9d\u00e9 de lissage du groupe de Thompson<\/a>, qui est d\u00fb \u00e0 Etienne Ghys et Vlad Sergiescu, s&rsquo;applique tout aussi bien \u00e0 n&rsquo;importe quel feuilletage transversalement dyadique, et lui conf\u00e8re une structure de feuilletage lisse \\(C^\\infty\\). Ainsi, la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) admet un feuilletage lisse dont toutes les feuilles sont denses, qui sont hom\u00e9omorphes \u00e0 une sph\u00e8re priv\u00e9e d&rsquo;un ensemble de Cantor, sauf \u00e9ventuellement un nombre d\u00e9nombrable d&rsquo;entre elles.<\/p>\n<p>La liste compl\u00e8te des feuilletages transversalement holomorphe sur des trois vari\u00e9t\u00e9s ferm\u00e9es appara\u00eet dans <a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/umbilicalfoliations.pdf\">cet article de Brunella\/Ghys<\/a>, m\u00eame si le fait qu&rsquo;elle est compl\u00e8te est ult\u00e9rieure. Rappelons la bri\u00e8vement :<\/p>\n<ol>\n<li>Les fibrations de Seifert<\/li>\n<li>Les feuilletages stables (resp. instables) forts d&rsquo;un flot d&rsquo;Anosov lin\u00e9aire sur un fibr\u00e9 hyperbolique en tores au dessus du cercle<\/li>\n<li>Les feuilletages lin\u00e9aires sur un tore \\(\\mathbb T^3\\)<\/li>\n<li>Les suspensions d&rsquo;un automorphisme de la sph\u00e8re de Riemann<\/li>\n<li>Les feuilletages induits par une singularit\u00e9 hyperbolique sur les vari\u00e9t\u00e9s lenticulaires.<\/li>\n<\/ol>\n<p>L&rsquo;exemple 2 ne peut appara\u00eetre dans notre cas \u00e0 cause d&rsquo;un <a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/stabiliteconjugaison.pdf\">r\u00e9sultat <\/a>de classification des feuilletages par surfaces non compactes sur les fibr\u00e9s hyperboliques en tores au dessus du cercle, d\u00fb \u00e0 Etienne Ghys et Vlad Sergiescu : les seuls feuilletages par surfaces sur de telles vari\u00e9t\u00e9s ont des feuilles toriques, ou bien sont diff\u00e9rentiablement conjugu\u00e9s aux fibr\u00e9s (in)stables faibles de la suspension d&rsquo;un diff\u00e9omorphisme Anosov hyperbolique du tore. Les feuilles de ces derniers feuilletages sont soit des cylindres, soit des plans, et ne peuvent \u00eatre des feuilles d&rsquo;un feuilletage de Hirsch. Ainsi, l&rsquo;exemple 2 est impossible dans notre situation.<\/p>\n<p>Par ailleurs, les feuilles d&rsquo;un feuilletage de Hirsch sont \u00e0 croissance exponentielle ; la th\u00e9orie de Novikov montre que le groupe fondamental de la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) a \u00e9galement une croissance exponentielle. On en d\u00e9duit donc que les exemples 3-4-5 de la liste de Brunella\/Ghys ne peuvent pas appara\u00eetre.<\/p>\n<p>Nous concluons ce bloc par le r\u00e9sultat suivant :<\/p>\n<p><strong>Lemme \u00a0: \u00a0<\/strong><em>La base d&rsquo;une fibration de Seifert associ\u00e9e \u00e0 un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration v\u00e9rifiant \\( (\\mathcal E) \\) est un orbifold hyperbolique.\u00a0<\/em><\/p>\n<p>D\u00e9monstration : Les orbifolds de dimension deux sont g\u00e9om\u00e9trisables (en dehors d&rsquo;exemples pathologiques qu&rsquo;il faudrait quand m\u00eame regarder en d\u00e9tails). Les g\u00e9om\u00e9tries possibles sont des m\u00e9triques riemanniennes de courbure constante \\(\\kappa\\). Chacune d&rsquo;elle induit une structure riemannienne transverse sur le feuilletage transversalement holomorphe, ayant pour courbure \\(\\kappa \\). En particulier elles induisent des m\u00e9triques compl\u00e8tes de courbure \\(\\kappa\\) sur les feuilles du feuilletage \\(\\mathcal F\\). Or ces feuilles sont g\u00e9n\u00e9riquement hom\u00e9omorphes \u00e0 des sph\u00e8res priv\u00e9es d&rsquo;un ensemble de Cantor. Seule la g\u00e9om\u00e9trie hyperbolique correspondant \u00e0 \\(\\kappa &lt;0\\) peut donc appara\u00eetre. cqfd<\/p>\n<p><strong>Corollaire :<\/strong> <em>Soit \\( (D,h_1, h_2) \\) un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration satisfaisant \u00e0 la condition \\( (\\mathcal E)\\). Alors si l&rsquo;on d\u00e9signe par \\(\\Lambda\\subset D\\) l&rsquo;ensemble limite, il existe une unique m\u00e9trique conforme \u00e0 courbure \\(-1\\) sur \\(D\\setminus \\Lambda\\) qui est invariante par les transformations \\(h_1\\) et \\(h_2\\).\u00a0<\/em><\/p>\n<p>D\u00e9monstration : une fibration de Seifert munie d&rsquo;une structure holomorphe transverse et de base hyperbolique admet une unique m\u00e9trique transverse \\(g\\) qui est conforme (vis \u00e0 vis de la structure transverse holomorphe) et \u00e0 courbure \\(-1\\). Rappelons nous que la vari\u00e9t\u00e9 \\(W\\) est construite en prenant un certain quotient du produit du pantalon \\( \\Pi = D\\setminus (h_1(\\text{Int} D) \\cup\u00a0h_2(\\text{Int} D) \\) par l&rsquo;intervalle \\( [0,1]\\). La m\u00e9trique \\(g\\) induit une m\u00e9trique sur le pantalon \\(\\Pi\\). Le fait que la m\u00e9trique \\(g\\) descende en une m\u00e9trique d\u00e9finie sur la vari\u00e9t\u00e9 \\(V\\) montre que \\(g\\) est invariante par les transformations \\(h_1\\) et \\(h_2\\) sur \\(\\partial D\\). Elle s&rsquo;\u00e9tend donc en une m\u00e9trique invariante par \\(h_1\\) et \\(h_2\\) sur tout le disque priv\u00e9 de l&rsquo;ensemble limite. cqfd<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Concluons par une question int\u00e9ressante : quels sont les feuilletages de Hirsch sur les fibr\u00e9s de Seifert au dessus de l&rsquo;orbifold (3,3,7) ?<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"footnote_container_prepare\">\t<p><span onclick=\"footnote_expand_reference_container();\">References<\/span><span style=\"display: none;\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;[ <a id=\"footnote_reference_container_collapse_button\" style=\"cursor:pointer;\" onclick=\"footnote_expand_collapse_reference_container();\">+<\/a> ]<\/span><\/p><\/div><div id=\"footnote_references_container\" style=\"\">\t<table class=\"footnote-reference-container\">\t\t<tbody>\t\t<tr>\t<td class=\"footnote_plugin_index\"><span id=\"footnote_plugin_reference_1\">1.<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_link\"><span onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_tooltip_1');\">&#8593;<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_text\"><a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/umbilicalfoliations.pdf\">M. Brunella, E. Ghys.\u00a0<span class=\"title\">Umbilical foliations and transversely holomorphic flows.<\/span>\u00a0J. Diff. Geom. 41 (1995), no.1, 1-19.<\/a><\/td><\/tr><tr>\t<td class=\"footnote_plugin_index\"><span id=\"footnote_plugin_reference_2\">2.<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_link\"><span onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_tooltip_2');\">&#8593;<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_text\">M. Brunella. On transversely holomorphic flows I. Invent. Math., vol. 126, issue 2, pp. 265-279.\u00a0<\/td><\/tr><tr>\t<td class=\"footnote_plugin_index\"><span id=\"footnote_plugin_reference_3\">3.<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_link\"><span onclick=\"footnote_moveToAnchor('footnote_plugin_tooltip_3');\">&#8593;<\/span><\/td>\t<td class=\"footnote_plugin_text\"><a href=\"http:\/\/perso.ens-lyon.fr\/ghys\/articles\/transverselyholomorphic.pdf\">E. Ghys. On transversely holomorphic flows II. Invent. math. 126, 281\u2013286 (1996)<\/a><\/td><\/tr>\t\t<\/tbody>\t<\/table><\/div><script type=\"text\/javascript\">\tfunction footnote_expand_reference_container() {\t\tjQuery(\"#footnote_references_container\").show();        jQuery(\"#footnote_reference_container_collapse_button\").text(\"-\");\t}    function footnote_collapse_reference_container() {        jQuery(\"#footnote_references_container\").hide();        jQuery(\"#footnote_reference_container_collapse_button\").text(\"+\");    }\tfunction footnote_expand_collapse_reference_container() {\t\tif (jQuery(\"#footnote_references_container\").is(\":hidden\")) {            footnote_expand_reference_container();\t\t} else {            footnote_collapse_reference_container();\t\t}\t}    function footnote_moveToAnchor(p_str_TargetID) {        footnote_expand_reference_container();        var l_obj_Target = jQuery(\"#\" + p_str_TargetID);        if(l_obj_Target.length) {            jQuery('html, body').animate({                scrollTop: l_obj_Target.offset().top - window.innerHeight\/2            }, 1000);        }    }<\/script>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Donnons nous un syst\u00e8me d&rsquo;it\u00e9ration \\(\\{( D, h_1, h_2 ) \\}\\) v\u00e9rifiant l&rsquo;\u00e9quation fonctionnelle \\( (\\mathcal E) \\). 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