{"id":239,"date":"2017-02-20T00:26:18","date_gmt":"2017-02-19T23:26:18","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=239"},"modified":"2017-02-20T23:48:52","modified_gmt":"2017-02-20T22:48:52","slug":"demonstration-de-la-propriete-mathcal-e","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/demonstration-de-la-propriete-mathcal-e\/","title":{"rendered":"D\u00e9monstration de la propri\u00e9t\u00e9 \\( (\\mathcal E)\\)"},"content":{"rendered":"

Nous montrons ici que le syst\u00e8me d’it\u00e9ration pr\u00e9sent\u00e9 l\u00e0<\/a>\u00a0v\u00e9rifie bien la propri\u00e9t\u00e9 \\( (\\mathcal E)\\)<\/a>.<\/p>\n

Le tore \\( T_k\\) est obtenu en quotientant \\( D’ \\setminus h_k'(\\text{Int}(D’)) \\) via la relation \\( z’\\sim h_k'(z’)\\) si \\( z’\\in \\partial D’\\). En fait, on s’assure ais\u00e9ment que \\(T_k\\) est \u00e9galement le quotient de \\( D \\setminus h_k(\\text{Int}(D)) \\) par la relation \\(z\\sim \u00a0h_k(z)\\) si \\( z\\in \\partial D\\). (voir \u00e0 ce propos la relation sur les syst\u00e8mes d’it\u00e9ration, pr\u00e9sent\u00e9e ici<\/a>)<\/p>\n

Le tore \\( T_1 \\) est donc form\u00e9 d’une partie constitu\u00e9e de quatre triangles isom\u00e9triques au triangle hyperbolique d’angles \\(( \\pi\/7,\\pi\/7,\\pi\/7) \\), et d’une copie de \\( h_2(D) \\), coll\u00e9s suivant la combinatoire \u00a0repr\u00e9sent\u00e9e sur la figure suivante<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

De m\u00eame, le tore \\( T_2 \\) est form\u00e9 d’une partie constitu\u00e9e de quatre triangles \\(( \\pi\/7,\\pi\/7,\\pi\/7) \\), et d’une copie de \\( h_1(D) \\), coll\u00e9s suivant la combinatoire \u00a0repr\u00e9sent\u00e9e sur la figure suivante<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

On constate que dans le rev\u00eatement universel \\( \\tilde{T_2}\\) de \\(T_2\\), \u00a0le domaine fondamental suivant a exactement la m\u00eame combinatoire que celle apparaissant dans la construction de \\( T_1 \\) :<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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Ainsi, l’\u00e9quation fonctionnelle \\( (\\mathcal E) \\) est bien satisfaite dans ce cas, ce que nous voulions \u00e9tablir.<\/p>\n

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Notons \\(\\Phi\\) le biholomorphisme entre \\(T_1\\) et \\( T_2\\) qui \u00e9tend \\( h_1\\circ h_2^{-1} \\) en restriction \u00e0 \\( h_2(D) \\subset T_1 \\). Il est int\u00e9ressant de comprendre la classe d’homotopie\u00a0\u00a0de \\(\\Phi\\), et notamment quelle est la configuration des classes d’homologie \\( \\Phi_* \\gamma_1 \\) et \\(\\gamma_2 \\) dans \\(H_1(T_2,\\mathbb Z)\\), o\u00f9 \\( \\gamma_k \\) est par d\u00e9finition la classe de la courbe \\(\\partial D\\sim h_k (\\partial D) \\) dans \\( T_k\\), munie de l’orientation directe induite par \\(\\partial D\\). Ces classes sont repr\u00e9sent\u00e9es sur la figure suivante<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

qui compl\u00e8te les figures pr\u00e9c\u00e9dentes. Dans la base \\( [a_2], [b_2] \\) de \u00a0 \\(H_1(T_2,\\mathbb Z)\\), on obtient donc<\/p>\n

 <\/p>\n

\\[ \\Phi_* \\gamma_1 = (1,2) \\text{ \u00a0et } \\gamma_2 = (1,-1) . \\]<\/p>\n

 <\/p>\n

Dans la base \\( [a_2+2 b_2] , [b_2] \\), on a<\/p>\n

\\[ \\Phi_* \\gamma_1 = (1,0) \\text{ \u00a0et } \\gamma_2 = (1,-3) . \\]<\/p>\n

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Nous montrons ici que le syst\u00e8me d’it\u00e9ration pr\u00e9sent\u00e9 l\u00e0\u00a0v\u00e9rifie bien la propri\u00e9t\u00e9 \\( (\\mathcal E)\\). Le tore \\( T_k\\) est obtenu en quotientant \\( D’ \\setminus h_k'(\\text{Int}(D’)) \\) via la relation \\( z’\\sim h_k'(z’)\\) si \\( z’\\in \\partial D’\\). En fait, on s’assure ais\u00e9ment que \\(T_k\\) est \u00e9galement le quotient de \\( D \\setminus h_k(\\text{Int}(D)) … Continuer la lecture de « D\u00e9monstration de la propri\u00e9t\u00e9 \\( (\\mathcal E)\\) »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-239","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/239","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=239"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/239\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":304,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/239\/revisions\/304"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=239"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}