{"id":184,"date":"2017-02-17T23:30:00","date_gmt":"2017-02-17T22:30:00","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=184"},"modified":"2017-02-23T00:51:45","modified_gmt":"2017-02-22T23:51:45","slug":"un-exemple-de-systeme-diteration-verifiant-mathcal-e","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/un-exemple-de-systeme-diteration-verifiant-mathcal-e\/","title":{"rendered":"Un exemple de syst\u00e8me d’it\u00e9ration v\u00e9rifiant l’\u00e9quation fonctionnelle \\( (\\mathcal E) \\)"},"content":{"rendered":"

 <\/p>\n

Rappelons que l’\u00e9quation fonctionnelle \\( (\\mathcal E) \\) porte sur des syst\u00e8mes d’it\u00e9rations, et a \u00e9t\u00e9 d\u00e9finie ici.<\/a>\u00a0L’exemple que nous proposons repose sur la construction d’un pavage auto-similaire hyperbolique.<\/p>\n

Consid\u00e9rons le triangle \u00e9quilat\u00e9ral \\(T\\) du plan hyperbolique d’angles \\( (\\pi\/7, \\pi\/7, \\pi\/7)\u00a0 \\) repr\u00e9sent\u00e9 sur la figure de une, et formons le patron form\u00e9 par quatre de ses copies recoll\u00e9es selon la combinatoire indiqu\u00e9e sur la figure qui suit.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Recollons deux nouvelles copies de ce patron dans les deux \u00ab\u00a0coeurs\u00a0\u00bb int\u00e9rieurs au patron original. On obtient 12 copies du triangle \\( T \\) recoll\u00e9es suivant la combinatoire dessin\u00e9e ici :<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

On recommence en collant le patron original dans les quatre \u00ab\u00a0coeurs\u00a0\u00bb int\u00e9rieurs \u00e0 cette derni\u00e8re figure, puis on it\u00e8re ce proc\u00e9d\u00e9 une infinit\u00e9 de fois. On obtient un pavage \\( \\mathcal P \\) d’une surface hyperbolique \u00e0 bord \\( S \\) hom\u00e9omorphe \u00e0 un disque ferm\u00e9 priv\u00e9 d’un ensemble de Cantor.<\/p>\n

Il se pourrait a priori <\/em>que cette surface hyperbolique ait des singularit\u00e9s coniques situ\u00e9s sur le 0-squelette du pavage \\( \\mathcal P \\), mais il n’en est rien. En effet, on v\u00e9rifie ais\u00e9ment qu’autour de chaque sommet, on a recoll\u00e9 exactement 14 triangles, ce qui fait bien un angle total de \\( 14 \\times (\\pi \/7) = 2\\pi \\).<\/p>\n

Le pavage \\( \\mathcal P \\) contient une infinit\u00e9 de copies du triangle \\( T\\), recoll\u00e9s suivant un proc\u00e9d\u00e9 auto-similaire. En particulier, on a deux copies \\(S_1\\) et \\(S_2\\) de \\(S\\), qui correspondent aux remplissages des deux coeurs int\u00e9rieurs du patron original. Ces deux copies sont les images de deux immersions \\( h_k : S \\rightarrow S_k \\) pour \\(k= 1,2\\).<\/p>\n

La surface \\(S\\) \u00e9tant planaire, nous pouvons la plonger holomorphiquement dans la sph\u00e8re de Riemann \\( \\mathbb P^1(\\mathbb C) \\). Nous renvoyons au magnifique livre d’Ahlfors-Sario<\/a>, chapitre 3, paragraphe 4, et nous remercions Peter Haissinsky de nous l’avoir indiqu\u00e9.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

L’image du bord \\(\\partial S\\) par ce plongement s\u00e9pare la sph\u00e8re en deux disques topologiques, l’un contenant l’image du plongement ; on le notera \\( D\\) dans ce qui suit. L’ensemble \\( \\Lambda := D \\setminus S \\) est un compact (en fait un ensemble de Cantor) contenu dans la sph\u00e8re de Riemann. La surface \\(\\mathbb P^1(\\mathbb C)\\setminus \\Lambda\\) appartient \u00e0 la classe \\( O_{AD}\\), voir le chapitre 4, partie 1 du livre d’Ahlfors-Sario pour la d\u00e9finition de cette classe. Ceci peut par exemple se d\u00e9duire du th\u00e9or\u00e8me 17E \u00a0(chapitre 4, partie 5, paragraphe 17) qui s’applique \u00e0 notre situation sans difficult\u00e9s.\u00a0Dans le chapitre 4, partie 1, 4A et 4B, il est montr\u00e9 que \\(\\Lambda\\) est un ensemble effa\u00e7able ; une cons\u00e9quence imm\u00e9diate est le fait que \\( h_1 \\) et \\(h_2\\) se prolongent en des immersions holomorphes de \\( D\\) dans lui-m\u00eame.<\/p>\n

Le syst\u00e8me d’it\u00e9ration obtenu sur le disque \\( D \\) ne satisfait pas la propri\u00e9t\u00e9<\/p>\n

\\[ h_1 (D) \\cap h_2(D) =\\emptyset, \\]<\/p>\n

mais on peut effectuer une petite modification pour se ramener \u00e0 ce cas.\u00a0Pour cela, consid\u00e9rons la surface \\( D’ \\) obtenue \u00e0 partir de \\( D\\) en biseautant la \u00ab\u00a0pointe\u00a0\u00bb de \\( D \\), comme sur la figure suivante.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Il s’agit d’une surface de Riemann qui est, comme \\( D \\), hom\u00e9omorphe \u00e0 un disque ferm\u00e9. Les deux immersions \\( h_1 \\) et \\( h_2 \\) \u00a0envoient \\( D’ \\) \u00e0 l’int\u00e9rieur de lui-m\u00eame, et les images de \\( D’ \\) par les \\( h_k\\) sont disjointes.<\/p>\n

En notant \\( h_k’\\) la restriction de \\( h_k\\) au disque \\( D’\\), nous pr\u00e9tendons que le syst\u00e8me d’it\u00e9ration \\( \\{D’, h_1′, h_2′ \u00a0\\}\\) v\u00e9rifie la propri\u00e9t\u00e9 \\( (\\mathcal E)\\). La d\u00e9monstration de ce fait se trouve ici.<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

  Rappelons que l’\u00e9quation fonctionnelle \\( (\\mathcal E) \\) porte sur des syst\u00e8mes d’it\u00e9rations, et a \u00e9t\u00e9 d\u00e9finie ici.\u00a0L’exemple que nous proposons repose sur la construction d’un pavage auto-similaire hyperbolique. Consid\u00e9rons le triangle \u00e9quilat\u00e9ral \\(T\\) du plan hyperbolique d’angles \\( (\\pi\/7, \\pi\/7, \\pi\/7)\u00a0 \\) repr\u00e9sent\u00e9 sur la figure de une, et formons le patron form\u00e9 … Continuer la lecture de « Un exemple de syst\u00e8me d’it\u00e9ration v\u00e9rifiant l’\u00e9quation fonctionnelle \\( (\\mathcal E) \\) »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":47,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-184","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/184","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=184"}],"version-history":[{"count":49,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/184\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":413,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/184\/revisions\/413"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/47"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=184"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}