{"id":157,"date":"2017-02-15T18:07:11","date_gmt":"2017-02-15T17:07:11","guid":{"rendered":"http:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/?page_id=157"},"modified":"2017-02-20T21:56:03","modified_gmt":"2017-02-20T20:56:03","slug":"une-equation-fonctionnelle-sur-les-systemes-diterations","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/une-equation-fonctionnelle-sur-les-systemes-diterations\/","title":{"rendered":"L’\u00e9quation fonctionnelle \\((\\mathcal E)\\) sur les syst\u00e8mes d’it\u00e9ration"},"content":{"rendered":"

Soit \\( D\\) une surface de Riemann compacte \u00e0 bord diff\u00e9omorphe \u00e0 un disque ferm\u00e9. On se donne un syst\u00e8me d’it\u00e9ration form\u00e9 par deux applications holomorphes injectives \\[ h_k: D \\rightarrow \\text{Int} (D),\\ \\\u00a0 \\ k= 1,2\\] telles que l’intersection \\(h_1(D)\\cap h_2(D) \\) est vide.<\/p>\n

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Chaque application \\( h_k \\) contracte la m\u00e9trique de Poincar\u00e9 par un facteur \\(<1\\) par le lemme de Schwarz<\/a>, et admet donc un unique point fixe \\( z_k \\) dans l’int\u00e9rieur de \\(D \\).\u00a0 Le cas d’un syst\u00e8me d’it\u00e9ration plus g\u00e9n\u00e9ral sera trait\u00e9 dans un autre bloc.<\/p>\n

Pour chaque \\( k= 1,2\\), on note \\( T_k \\) le quotient de \\( D\\setminus \\{z_k\\} \\) par la relation \\( z \\sim h_k(z)\\). Il s’agit de l’ \u00ab\u00a0espace des orbites\u00a0\u00bb de \\( h_k \\) en restriction \u00e0 \\(D\\setminus \\{z_k\\} \\) ; ce sont des courbes elliptiques, obtenues \u00e0 partir de l’anneau \\( D \\setminus \\text{Int} (h_k (D) ) \\) en recollant ses deux composantes de bord \\( \\partial D \\) et \\( h_k (\\partial D)\\) par \\( h_k\\).<\/p>\n

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On observe alors que \\( h_2(D) \\) peut \u00eatre vu comme une sous-partie de \\( T_1 \\), et vice versa (c’est \u00e0 dire que \\(h_1(D) \\) peut \u00eatre vu comme une sous-partie de \\(T_2 \\) ). On s’int\u00e9resse ici \u00e0 l’\u00e9quation fonctionnelle suivante :<\/p>\n

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\\( (\\mathcal E) \\) La transformation<\/em><\/p>\n

\\[ h_1\\circ h_2^{-1}\u00a0 : h_2(D) \\subset T_1 \\rightarrow h_1(D) \\subset T_2 \\]<\/em><\/p>\n

se prolonge en un biholomorphisme de \\( T_1 \\) dans \\( T_2\\).<\/em><\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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L’\u00e9quation fonctionnelle\u00a0\\( (\\mathcal E) \\) est \u00ab\u00a0invariante\u00a0\u00bb par la relation suivante sur les syst\u00e8mes d’it\u00e9ration. Par exemple consid\u00e9rons le syst\u00e8me d’it\u00e9ration \\( \\{D’, \u00a0h_1′, h_2′ \\} \\), o\u00f9 \u00a0\\(D’ \\) est un domaine simplement connexe contenu dans \\(D\\) et contenant \\(h_1(D)\\) et\u00a0\\(h_2(D)\\), et o\u00f9 \\( h_k’ \\) d\u00e9signe la restriction de\u00a0\\( h_k \\) \u00e0 \\(D’ \\). Alors on voit imm\u00e9diatement que le syst\u00e8me\u00a0\\( \\{D’, \u00a0h_1′, h_2′ \\} \\) v\u00e9rifie l’\u00e9quation \\( (\\mathcal E) \\) ssi le syst\u00e8me original\u00a0\\( \\{D, \u00a0h_1, h_2 \\} \\) la v\u00e9rifie \u00e9galement.<\/p>\n

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\"\"<\/p>\n

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Evidemment, une classe de syst\u00e8mes d’it\u00e9ration ne satisfait pas en g\u00e9n\u00e9ral une \u00e9quation fonctionnelle telle que \\( (\\mathcal E) \\), comme nous le verrons bient\u00f4t. D’ailleurs, nous ne connaissons pour l’instant qu’un seul exemple de tel syst\u00e8me, que nous avons d\u00e9couvert par exp\u00e9rimentations num\u00e9riques sur l’\u00e9quation de Jouanolou<\/a>, et que nous pr\u00e9sentons ici<\/a>.<\/p>\n

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Soit \\( D\\) une surface de Riemann compacte \u00e0 bord diff\u00e9omorphe \u00e0 un disque ferm\u00e9. On se donne un syst\u00e8me d’it\u00e9ration form\u00e9 par deux applications holomorphes injectives \\[ h_k: D \\rightarrow \\text{Int} (D),\\ \\\u00a0 \\ k= 1,2\\] telles que l’intersection \\(h_1(D)\\cap h_2(D) \\) est vide.     Chaque application \\( h_k \\) contracte la m\u00e9trique … Continuer la lecture de « L’\u00e9quation fonctionnelle \\((\\mathcal E)\\) sur les syst\u00e8mes d’it\u00e9ration »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"featured_media":201,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-157","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/157","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=157"}],"version-history":[{"count":46,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/157\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":302,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/157\/revisions\/302"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/201"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=157"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}