J’ai retrouv\u00e9 un message d’Etienne (voir ci-apr\u00e8s) dans lequel il me racontait la preuve du thm de Thurston \u00ab\u00a0\u00e0 sa sauce\u00a0\u00bb. Ca pourrait \u00eatre pas mal qu’on essaie de comprendre cette preuve, dans l’id\u00e9e de l’incorporer \u00e0 notre blog (ce qui pourrait servir \u00e0 la communaut\u00e9, \u00e9tant donn\u00e9 que la th\u00e8se de Thurston n’a pas \u00e9t\u00e9 publi\u00e9e, et qu’elle n’est pas disponible sur le net…) D’autant qu’il y a peut \u00eatre des simplifications dans notre cas, car on sait d\u00e9j\u00e0 que l’on a affaire \u00e0 un feuilletage de Hirsch.<\/p>\n
La bonne hypoth\u00e8se, c’est : pas de feuille torique et pas seulement pas de composante de Reeb.
\nCar tu peux toujours prendre une supension, un cercle dans la base, disons sans holonomie,
\nprendre le tore qui est au dessus de ce cercle et faire spiraler. Je crois que s’il n’y a pas
\nde composante de Reeb, on peut mettre le feuilletage transverse aux fibres sauf le long
\ndes feuilles toriques, qui sont tangentes.<\/p>\n
Quelques mots sur la preuve (revue \u00e0 la sauce Etienne).<\/p>\n
S’il n’y a pas de composante de Reeb, toutes les feuilles sont ferm\u00e9es dans le rev\u00eatement universel
\n(car sinon, transversale ferm\u00e9e homotope \u00e0 z\u00e9ro, donc cycle \u00e9vanouissant par Haefliger, donc
\ncomposante de Reeb par Novikov).<\/p>\n
Donc l’espace des feuilles dans le rev\u00eatement universel est une vari\u00e9t\u00e9 de dimension 1 non s\u00e9par\u00e9e.<\/p>\n
Maintenant, tu \u00e9tudies l’action du centre du pi1 (le pi des fibres) sur cet espace. J’affirme
\nqu’il n’y a pas de points fixes. L’ensemble des points fixes est un ferm\u00e9 invariant par tout le groupe,
\net correspond donc \u00e0 un ferm\u00e9 invariant dans la vari\u00e9t\u00e9 compacte. Pas difficile de voir que
\n\u00e7a signifierait que les feuilles de ce ferm\u00e9 seraient toutes des cylindres (une surface \u00e0 centre
\nnon trivial) mais c’est impossible par Sacksteder en C2. Bon, tout \u00e7a doit \u00eatre mieux dit, en particulier
\nil faut consid\u00e9rer les points presque fixes par le centre, ie qu’on ne peut pas s\u00e9parer de leur image.
\nD\u00e9tails dans mon article pr\u00e9historique sur les flots d’Anosov sur les fibr\u00e9s en cercles (ergodic theory 83 ?)<\/p>\n
Ah j’oubliais aussi : un point fixe du centre, \u00e7a pourrait aussi correspondre \u00e0\u00a0 une feuille torique (verticale).<\/p>\n
Bon, bref, apr\u00e8s ce boulot, on regarde le quotient de l’espace des feuilles par l’action du centre.
\nC’est une vari\u00e9t\u00e9 de dimension 1 dont le pi1 est Z. Alors, je d\u00e9finis sa classe fondamentale comme
\nl’ensemble des points qui ne disconnectent pas. C’est un ouvert invariant par le pi1 de la base.
\nSon bord serait un minimal exceptionnel, impossible par Sacksteder. Donc, l’espace des feuilles
\nest s\u00e9par\u00e9 et c’est un cercle.<\/p>\n
Maiintenant, on prend une triangulation de la base disons avec un seul sommet.
\nLa fibre au dessus du sommet peut \u00eatre mise transverse puisque l’espace des feuilles
\nest S1. Puis on met les cylindres au dessus des ar\u00eates en position transverse, et c’est possible
\npour la m\u00eame raison. Puis le reste, ce qui est possible puisqu’il reste un tore solide,
\ntransverse au bord et qu’on sait que l’espace des feuilles est le bon.<\/p>\n
Bon, je ne suis pas tr\u00e8s clair… mais, au moins, c’est tr\u00e8s clair dans ma t\u00eate…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Th\u00e9or\u00e8me de Thurston J’ai retrouv\u00e9 un message d’Etienne (voir ci-apr\u00e8s) dans lequel il me racontait la preuve du thm de Thurston \u00ab\u00a0\u00e0 sa sauce\u00a0\u00bb. Ca pourrait \u00eatre pas mal qu’on essaie de comprendre cette preuve, dans l’id\u00e9e de l’incorporer \u00e0 notre blog (ce qui pourrait servir \u00e0 la communaut\u00e9, \u00e9tant donn\u00e9 que la th\u00e8se de … Continuer la lecture de « La th\u00e8se de Thurston »<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-131","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/131","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=131"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/131\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":132,"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/131\/revisions\/132"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/feuilletages-algebriques.math.cnrs.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=131"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}