Etat d’ébauche
Soit \( \{D,h_1,h_2 \}\) un système d’itération sur un disque fermé \( D\) tel que les images de \(h_1\) et \(h_2\) sont disjointes. Donnons nous un difféomorphisme préservant l’orientation
\[ \Phi : T_1 \rightarrow T_2 \]
qui soit égal à \( h_1 \circ h_2^{-1} \) en restriction à \( h_2(D) \subset T_1\). Nous ne supposons pas à ce niveau que \( \Phi\) soit holomorphe.
Ici , nous avons construit une variété de dimension trois fermée \(W\), associée à \( \{D, h_1, h_2, \Phi \} \), qui est munie de surcroît de deux feuilletages transverses \(\mathcal G\) et \(\mathcal H\). De surcroît \(\mathcal H\) est ransversalement dyadique. Rappelons que ce dernier s’obtient par chirurgie « longitudinale » de la variété feuilletée de Hirsch, et que par conséquent toutes ses feuilles sont denses dans \(W\).
Dans le cas où \( \Phi \) est un biholomorphisme (et que donc l’équation \( (\mathcal E) \) est satisfaite pour le système \( \{D, h_1, h_2\} \)), nous avons montré ici que le feuilletage \(\mathcal G\) est en fait une fibration de Seifert. Nous avons réciproquement
Proposition : Supposons que la variété \(W\) possède une fibration de Seifert. Alors, il existe un système d’itération holomorphe \( \{D,h_1,h_2\} \) qui vérifie l’équation \( (\mathcal E) \), et tel que \(W= W_{\{D,h_1,h_2\}}\).
EST CE LE BON ENONCE ? N’est pas plutôt qu’on peut trouver une structure holomorphe sur (D) invariante par les \(h_k\) de sorte que \(\Phi\) puisse être isotopé à un biholomorphisme qui satisfait la condition \( (\mathcal E) \).
Démonstration : Le résultat principal de la thèse de Thurston montre que l’on peut homotoper \( \mathcal H\) à un feuilletage transverse à la fibration de Seifert. Considérons la feuille de \(\mathcal H\) qui est l’union des pantalons \( D \setminus (h_1(D) \cup h_2(D) ) \times \{x\} \), où \(x\) est un point dyadique de l’intervalle \([0,1]\). Notons la \( F\). La représentation d’holonomie nous fournit une représentation à valeurs le pseudo-groupe de Thompson qui fixe l’origine. En particulier, en regardant les dérivées à droite et à gauche en l’origine, cette représentation induit une représentation
\[\pi_1 (F) \rightarrow \mathbb Z^2 .\]
Il est donc naturel de chercher à classifier les classes d’isotopies de difféomorphismes \(\Phi\) telles que \(W\) est l’espace total d’une fibration de Seifert.
Le caractère Seifert d’une variété fermée de dimension trois se détecte sur son groupe fondamental. La combinaison de travaux de Geoffrey Mess, Peter Scott et David Gabai permet de caractériser les espaces ambiants d’une fibration de Seifert comme étant les trois variétés fermées dont le groupe fondamental possède un élément central d’ordre infini, voir ici. Le quotient par le centre est le groupe fondamental au sens orbifold de la base de la fibration.
Une présentation de \(\pi_1(W)\) est calculée ici, et on peut essayer de l’utiliser pour trouver quelles sont les variétés \(W\) qui sont des fibres de Seifert. Mais ce n’est pas si facile… Comment trouver un élément non trivial du centre?