Nous énonçons et démontrons le théorème de linéarisation de Poincaré.
Théorème
Soit \(X\) un champ de vecteurs dans \(\mathbf{C}^2\) singulier en l’origine \( (0,0) \) et tel que, pour tout point \( (x,y) \) au voisinage de la singularité, on ait
\[X(x,y) = (ax+by+\cdots, cy+dz+\cdots).\]
Si les valeurs propres complexes \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) de la matrice \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\) sont telles que \(\lambda = \lambda_1 / \lambda_2\) n’est pas réel, alors il existe un changement de coordonnées analytiques tel que l’équation différentielle \(\dot{X} = X\) s’écrive, dans ces nouvelles coordonnées, sous la forme \(\dot{X} = X_\lambda\).
Nous énonçons un théorème de Brunella.
Théorème
Étant donné un feuilletage induit par un champ de vecteurs holomorphe au voisinage de l’origine de \(\mathbf{C}^2\) et ayant une singularité en l’origine, il est transverse à une sphère \(\mathbf{S}^3\) de petit rayon ssi il est linéarisable, avec les valeurs propres qui vérifient les conditions que l’on vient de discuter (elles sont soit linéairement indépendantes sur \(\mathbf{R}\), soit leur quotient est strictement positif).
Un cas particulier du théorème de Brunella-Ghys
Si l’on a un feuilletage transversalement holomorphe sur une 3 variété fermée, qui admet deux orbites périodiques hyperboliques (une attractive et l’autre répulsive) telles que toutes les autres orbites ont pour omega et alpha limite ces deux orbites, alors la variété est soit un espace lenticulaire soit S^1\times S^2, et le feuilletage est donné par le quotient d’une singularité hyperbolique dans le cas des espaces lenticulaires, et dans le cas de S^1\times S^2 d’une suspension au dessus du cercle d’un automorphisme hyperbolique de la sphère de Riemann.