Le modèle que je t’ai raconté à Orléans la dernière fois me semble marcher. Il produit une variété orbifolde de dimension quatre réelle avec toutes les structures suivantes : un feuilletage transversalement holomorphe singulier, un feuilletage de codimension un réelle transversalement dyadique, etc… Ce conifold n’est pas le quotient de Jouanolou par le groupe $G$, car il n’admet pas de revêtement connexe de groupe $G$. En fait je me demande même si c’est un « bon » orbifiold (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Orbifold à ce propos). Il mène donc à quelque d’intéressant et de non répertorié qu’il serait intéressant d’étudier (notamment ses désingularisations, qui fournissent des surfaces complexes lisses feuilletées potentielles). Par contre il semble qu’on puisse faire une construction analogue en partant du modèle de « profondeur deux », et que là, miracle, on puisse construire un revêtement connexe de groupe G, qui pourrait être notre cher Jouanolou. Je t’avoue que ça me laisse perplexe, car j’aurai juré que les deux constructions donnent exactement les mêmes structures. Il faut absolument qu’on comprenne ce qui se passe ici et être complètement certain. Le seul moyen que je vois est l’écriture. Je me disais que ça pourrait être bien que tu écrives cette partie, ça permettrait de la vérifier en détail, et d’avoir un point de vue peut être nouveau également.
PS : dans l’article https://en.wikipedia.org/wiki/Orbifold lis la partie sur Mumford. Mumford construit dans l’article mentionné un faux plan projectif complexe. Et sais tu que ce faux plan projectif (cad une surface algébrique complexe qui a les mêmes nombre de Betti que le plan projectif, b1= b3=0 et b2=1) a un groupe d’automorphisme d’ordre 168 = 2^3 * 3 * 7! Lorsque l’on divise par le groupe d’ordre 21, et bien on obtient une certaine variété. Est ce que ça pourrait être le modèle qu’on a discuté la dernière fois ? A mon avis, c’est plutôt qu’on a raconté pleins de bêtises, mais bon on sait jamais…