Le champ de Jouanolou de degré \(d\) est donné par
\[J_d(x,y,z) = y^d\frac{\partial}{\partial x}+z^d\frac{\partial}{\partial y}+x^d\frac{\partial}{\partial z}.\]
La surface de Bogomolov dans \(\mathbf{P}_{\mathbf{C}}^2\) est définie en coordonnées homogènes par l’équation
\[(\mathcal{B}_d) : R \cdot J_d = 0 \quad i.e. \quad x \bar{y}^d + y \bar{z}^d + z \bar{x}^d = 0\]
LES SYMÉTRIES du champ de Jouanolou
Le groupe de symétries du feuilletage est engendré par les transformations suivantes.
\[D = d^2+d+1 \qquad \zeta_D = \text{e}^{2i\pi/D}\]
\[S : [x:y:z] \longmapsto [y:z:x] \qquad T_D : [x:y:z] \longmapsto [\zeta_D x:\zeta^{-d}_D y:z]\]
\[G_D = <S,T_D> = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times_| \mathbf{Z}/D\mathbf{Z}\]
Remarquons les trois axes \(P_x = [1:0:0]\), \(P_y = [0:1:0]\) et \(P_z = [0:0:1]\) définissent trois points réels de \(\mathbf{P}_{\mathbf{C}}^2\) qui :
- forment une orbite de \(S\) ;
- sont des points fixes de \(T_D\) ;
- appartiennent à \(\mathcal{B}_d\).
Le groupe \(\mathbf{Z}/D\mathbf{Z}\) opère bien entendu dans l’ensemble \(\{0 \cdots D\}\) comme sous-groupe de permutation. Notons \(\bar{1}\), \(\bar{d}\) et \(\bar{d^2}\) les images de \(1\), \(d\) et \(d^2\) dans le groupe \(\mathbf{Z}/D\mathbf{Z}\). Bien entendu, on \(\bar{d} = \bar{1}^d\) et \(\bar{d^2} = \bar{1}^{d^2}\). Par ailleurs, \(d\) et \(D\) sont premiers entre eux (d’après le théorème de Bézout puisque \(-(d+1)\cdot d+1 \cdot D=1\)). De même, \(d^2\) et \(D\) sont premiers entre eux (\(d\cdot d^2-(d-1)\cdot D=1\)). Ainsi
\[\mathbf{Z}/D\mathbf{Z} = <\bar{1},\bar{d},\bar{d^2}>=<\bar{1}>=<\bar{d}>=<\bar{d^2}>.\]
Enfin on note que \(\bar{1} \cdot \bar{d} \cdot \bar{d^2} = \bar{1}+\bar{d}+\bar{d^2} = \text{Id}_{\mathbf{Z}/D\mathbf{Z}}\).