Existence de domaine de discontinuité

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Suite du document « Variétés de Bogomolov »

Le but de ce document est d’établir des critères permettant d’exhiber des domaines de discontinuité non vides pour des feuilletages algébriques de \(\mathbf{P}^n (\mathbf{C})\) (le cas des variétés algébriques plus générales sera traité plus tard), et d’étudier leur complémentaires.

En particulier, on va montrer que (modulo certaines conditions de transversalité qui semblent être vérifiées expérimentalement) tout feuilletage suffisamment proche du feuilletage de Jouanolou \(\mathcal{J}_2\) sur \(\mathbf{P}^2(\mathbf{C})\) vérifie les propriétés suivantes :

1. Il existe un ouvert saturé \(U\) sur lequel le feuilletage est une fibration en disques au dessus de la quartique de Klein (l’ensemble de discontinuité)
2. L’extérieur de \(U\) est hyperbolique (voir partie \ref{p: hyperbolicite}),
3. Les bords des disques de la fibration sont naturellement équippés d’une structure dyadique, qui mène à une représentation de l’orbifold \( (3,3,7) \) à valeurs dans le groupe de Thompson, dont la classe d’Euler est égale à -1, et¹⁾le calcul de la classe d’Euler vient de celui de l’auto-intersection de la surface de bogomolov. Serait-il possible de calculer d’autres invariants cohomologiques, notamment la classe de « Godbillon-Vey discrète » de cette représentation ?

A termes, nous aimerions obtenir une description complète de la topologie de \(\mathcal{J}_2\), c’est à dire démontrer qu’il est conjugué topologiquement au modèle décrit dans ???. Nous en déduirions en particulier que \(\mathcal J_2\) est stable dans la famille des feuilletages algébriques de degré \(2\) de \(\mathbb P^2(\mathbb C)\). Un chemin possible pour atteindre un tel objectif pourrait \^etre de montrer qu’il existe une unique représentation de l’orbifold \²⁾3,3,7)\) vérifiant (3).
\section{Domaines de discontinuité}
Rappelons que, \footnote{voir le document Variétés de Bogomolov} étant donné un champ de vecteurs holomorphe $X$ sur $\mathbb C^n$ qui est homogène de degré $d \geq 2$, les courbes intégrales de l’EDO
\begin{equation} \label{eq: EDO} \dot{x} = X (x) ,\ \ x(0) = x_0\end{equation}
sont invariantes par l’action de $\mathbb C^*$ sur $\mathbb C^n$ par multiplication par les scalaires, ce qui définit un feuilletage algébrique $\mathcal F$ sur $\mathbb P^{n-1}(\mathbb C)$. Les feuilles de $\mathcal F$ se relèvent en des courbes intégrales de l’EDO \eqref{eq: EDO}, et la différentielle
\begin{equation}\label{eq: differentielle} \omega = d\log ||x|| \end{equation}
ne dépend pas du relèvement. Autrement dit, \eqref{eq: differentielle} définit une différentielle réelle sur $T\mathcal F$ qui est fermée le long des feuilles. De fa\c{c}on duale, cette forme définit un champ de vecteurs réel tangent à $\mathcal F$, par les conditions
\begin{equation} \label{eq: champ de vecteurs dual} \omega (V) = 1 \text{ et $V$ est orthogonal à } \text{Ker} (\omega) \end{equation}

Nous supposerons par la suite que l’équation différentielle \eqref{eq: EDO} vérifie les hypothèses suivantes :

1. pour tout $p \in \mathbb C^n \setminus 0$ tel que $[p] \in \text{sing} (\mathcal F)$, on a $X(p) \neq 0$,
2. les points critiques de la fonction (multivaluée) $\log ||.||$ le long des feuilles de $\mathcal F$ sont tous non dégénérés d’indice $0$.

{\bf Proposition.} \textit{Supposons que $X$ satisfasse les deux conditions 1) et 2) ci-dessus. Alors l’ensemble $M := \{ V = \infty \} \subset \mathbb P^{n-1} (\mathbb C) \setminus \text{sing} (\mathcal F)$ est une variété de Bogomolov relative à $\mathcal F$ qui n’accumule pas sur $\text{sing} (\mathcal F)$. Le saturé de $M$ par $\mathcal F$ est un ouvert strict $U\subset \mathbb P^{n-1} (\mathbb C)$ sur lequel le feuilletage est une fibration en disques.}

Le fait que l’ensemble $M$ soit transverse au feuilletage $\mathcal F$ découle de ce que les points critiques de $\log ||.||$ sont non dégénérés~: $M$ est donc bien une sous-variété de Bogomolov relative au feuilletage $\mathcal F$ sur $\mathbb P^{n-1} (\mathbb C) \setminus \text{sing} (\mathcal F)$.

{\bf Analyticité de $V$.} \textit{La variété $M$ n’accumule pas sur $\text{sing} (\mathcal F)$. De plus, $V$ définit un champ de vecteurs analytique sur $\mathbb P^{n-1} (\mathbb C) \setminus M$.}

Quitte à appliquer un automorphisme linéaire sur $\mathbb C^n$, nous pouvons supposer que $p_0 = [0:\ldots:0:1]$. On a donc $X_k (0,\ldots, 0, 1)= 0$ si $k<n$ et $X_n (0,\ldots, 0, 1) \neq 0$ d’après l’hypothèse (2). Posons $x_k = u_k x_n$~; nous avons
$$ \dot{u_k} = \frac{\dot{x_k} x_n – \dot{x_n } x_k}{x_n^2}= x_n^{d-1} P_k (u_1,\ldots, u_{n-1}) $$
où
$$ P_k (u_1,\ldots, u_{n-1}) = X_k (u_1,\ldots, u_{n-1}, 1) – X_n (u_1,\ldots, u_{n-1}, 1) u_k .$$
Résolvons l’équation différentielle $\frac{dT}{dt}= x_n ^{d-1}$ le long d’une solution de $X$. Les fonctions $u_k$ vérifient l’EDO
\begin{equation} \label{eq: singularite} \frac{d u_k}{dT} = P_k (u_1,\ldots, u_{n-1}) \text{ pour tout } k= 1,\ldots, n-1. \end{equation}

On a alors
$$ d \log || (x_1,\ldots, x_n) ||^2 = 2\Re d\log x_n + d\log (|u_1|^2 + \ldots + |u_{n-1}|^2 + 1)$$
Or, en notant $P_n(u_1,\ldots, u_{n-1}) = X_n (u_1,\ldots, u_{n-1}, 1)$,
$$ \frac{dx_n}{dT}= \frac{dx_n}{dt} \frac{dt}{dT}= x_n^d P_n (u_1,\ldots, u_{n-1}) x_n^{1-d}=x_n P_n(u_1,\ldots, u_{n-1}), $$
et donc
$$ d\log x_n = P_n(u_1,\ldots, u_{n-1}) dT.$$
Ceci donne finalement
$$ d \log || (x_1,\ldots, x_n) ||^2 = 2 \Re( f \cdot dT) ,$$
avec
$$ f = P_n (u) + \frac{ \sum_{1\leq k\leq n-1} P_k (u ) \overline{u_k}}{||u||^2 + 1}.$$
De fa\c{c}on duale, en notant $Y = \sum_{1\leq k \leq n-1} P_k (u) \frac{\partial}{\partial u_k}$, on obtient l’expression de $V$ suivante
$$ V = \frac{1}{2f} Y.$$
Or $P_n (0, \ldots, 0) \neq 0$ par l’hypothèse (1), et donc $f$ ne s’annule pas en l’origine, ce qui conclut la démonstration. cqfd

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{\bf Complétude en temps positif.} \textit{ Sous les hypothèses 1) et 2), le flot associé au champ de vecteurs $V$ sur $\mathbb P^{n-1} (\mathbb C) \setminus (M\cup \text{sing} (\mathcal F) ) $ est défini pour tout temps positif. }

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Comme les points critiques de $\log ||.||$ sont non dégénérés et d’indice nul en restriction à chaque feuille, les points d’intersection des feuilles avec $M$ sont des sources pour le champ $V$. En fait, pour tout point $p\in \mathbb P^{n-1} (\mathbb C)\setminus M$ suffisamment proche de $M$, la solution passant par $p$ possède un intervalle maximal de définition à droite fini, de la forme $(-r(p), 0]$ avec $r(p)>0$, et la limite de $\phi ^t(p)$ lorsque $t$ tend vers $-r(p)$ existe et appartient à $M$. On note $\pi (p)$ ce dernier point. L’extension de l’application $\pi$ à $M$ définie par $\pi(p)= p$ si $p\in M$ est continue, et confère à un certain voisinage $W$ de $M$ une structure de fibré en disques au dessus de $M$. Notez que le champ $V$ est sortant sur $\partial W$. Le caractère analytique de $V$ en dehors de $M$ permet alors de conclure. cqfd.
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Nous sommes maintenant en mesure de démontrer la Proposition ci-dessus. Considérons une feuille $\tilde{F}$ du feuilletage $\tilde{\mathcal F}$ de $\mathbb C^n \setminus 0$ induit par le champ de vecteurs $X$, et supposons que $\tilde{F}$ contienne un point $\tilde{p_0}$ où $\tilde{V}$ admet un p\^ole (ici $\tilde{V}$ est le relevé de $V$ à $\tilde{F}$). D’après l’hypothèse (2), la restriction de la fonction $\log ||.||$ à $\tilde{F}$ admet un point critique non dégénéré en $\tilde{p_0}$ d’indice $0$. Si l’on trace un petit cercle $\tilde{\gamma}$ autour de $\tilde{p_0}$ dans $\tilde{F}$, alors nous savons que toute trajectoire issue d’un point $\tilde{p}$ de $\tilde{\gamma}$ au temps $0$ tend vers $\tilde{p_0}$ au temps $-r (\tilde{p}) >0$, et est définie pour tout temps positif.

Or par construction du champ $V$, on a pour tout $t\geq 0$ et tout $\tilde{p}\in \tilde{\gamma}$,
$$ \log || \tilde\Phi ^t (\tilde{p}) || = t + \log || \tilde{p} || .$$
Ceci montre deux choses. D’une part la feuille $\tilde{F}$ est constituée de l’union des trajectoires du champ $\tilde{V}$ issues d’un point $\tilde{p}\in \tilde{\gamma}$ ainsi que du point $\tilde{p_0}$ (et en particulier $\tilde{F}$ est difféomorphe à un disque). Et d’autre part, l’unique p\^ole de $V$ sur $\tilde{F}$ est le point $\tilde{p_0}$.

Pour conclure, il suffit de dire qu’une feuille $F \subset \mathbb P^{n-1} (\mathbb C)$ de $\mathcal F$ passant par un point $p_0 \in V$ se relève en une feuille $\tilde{F}\subset \mathbb C^n \setminus 0$ passant par un relevé $\tilde{p_0}$ de $p_0$. L’application naturelle $\tilde{F} \rightarrow F$ est un rev\^etement abélien dont le groupe de Galois préserve l’ensemble des p\^oles de $\tilde{V}$ en restriction à $\tilde{F}$. Comme cet ensemble est réduit à $p_0$ d’après ce qui précède, ce groupe de Galois est trivial, et donc l’application $\tilde{F} \rightarrow F$ est en fait un difféomorphisme. Tout ce que nous avons dit sur $\tilde{F}$ s’applique donc à $F$~; en particulier, le saturé $U$ de $M$ dans $\mathbb P^{n-1} (\mathbb C)$ est un fibré en disques au dessus de $M$. cqfd

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{\bf Définition.} Sous les hypothèses 1) et 2), nous appellerons le saturé de $M$ l’\textit{ensemble de discontinuité} de $\mathcal F$. Il sera noté $U$ et son complémentaire $\mathcal M$.

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{\bf Remarques. 1.} L’extérieur de $U$ est connexe. En particulier, il n’est pas réduit à un ensemble de singularités, dés lors qu’il y a au moins deux singularités.

{\bf 2.} Dans le cas de l’équation de Jouanolou pour les paramètres $n= 3$, $d=2$, on constate que le champ de vecteurs $V$ rentre dans les singularités (il est en particulier transverse à de suffisamment petites sphères autour de ces dernières). On trouve la démonstration de cela dans le document « structure affine », page 2. En effet, un petit calcul montre que le champ $V$ est asymptote dans la coordonnée $T = \alpha + i \beta$ au champ $\frac{\partial}{\partial \alpha}$ qui entre dans le domaine $A$. Cette remarque sera importante pour montrer que sur l’extérieur de $U$, l’inverse du flot $V$, qui est alors défini pour tout temps, est transversalement dilatant.
\section{Hyperbolicité sur le complémentaire} \label{p: hyperbolicite}

On suppose dans cette partie que $n= 3$. Nous considérons un champ de vecteurs $X$ qui vérifie les deux propriétés 1) et 2), ainsi que la propriété suivante

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3) La divergence de $X$ est nulle. \footnote{Une remarque d’Adolfo Guillot est le fait que tout feuilletage $\mathcal F$ de $\mathbb P^2(\mathbb C)$ est défini par un unique champ homogène de $\mathbb C^3$ de divergence nulle. }

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On note alors $U$ l’ensemble de discontinuité, qui est isomorphe à un fibré en disques dont on a montré l’existence dans la partie pécédente, et $\mathcal M$ le complémentaire de $U$.

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{\bf Définition.} On dira que $\mathcal M$ est hyperbolique si, étant donnée une métrique hermitienne sur le fibré normal $N_{\mathcal F}$ de $\mathcal F$, il existe un voisinage $V$ arbitrairement petit de l’ensemble singulier de $\mathcal F$ dans $\mathbb P^2(\mathbb C)$, tel que la propriété suivante a lieu. Pour tout $p \in \mathcal M \setminus V$, il existe un chemin $\gamma: [0, 1] \rightarrow F_p \setminus V$ tel que $$ || Dh_\gamma (p) || >1,$$
où $h_\gamma$ est l’application d’holonomie associée à $\gamma$. \footnote{Cette notion ne dépend pas de la métrique hermitienne choisie.}

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{\bf Proposition.} \textit{Sous les hypothèses 1), 2) et 3), l’ensemble $\mathcal M$ est hyperbolique.}

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Commen\c{c}ons par introduire une métrique spécifique sur le fibré normal à $\mathcal F$. Pour cela, il suffit de construire une métrique sur le fibré normal à $\mathcal G= \pi^* \mathcal F$, où $\pi : \mathbb C^3 \setminus \{ 0 \} \rightarrow \mathbb P^2 (\mathbb C)$, qui soit invariante par l’opération de multiplication par les scalaires. La distribution tangente du feuilletage $ \mathcal G$ est
$$ T \mathcal G = \mathbb C R \oplus \mathbb C X,$$
$R$ désignant le champ radial. Pour $x\in \mathbb C^3\setminus \{ 0 \}$, les formes linéaires
$$\varphi _x (u) = \text{det} (R(x) , X(x) , u) $$
ont pour noyau $T_x \mathcal G$, et définissent donc des formes linéaires non nulles sur $N_x \mathcal G$. Elles vérifient
$$ \varphi_{\lambda x} (\lambda u ) = \text{det} (R(\lambda x) , X(\lambda x), u ) = \lambda ^{d+1} \varphi _x (u),$$
pour tous $\lambda \in \mathbb C^*$, $x\in \mathbb C^3\setminus 0$, et $u\in N_x\mathcal G$. Ainsi, les métriques
$$ || u ||_x := \frac{|\varphi_x (u)|}{||x||^{d+1}}, $$
où $||x||=\sqrt{\sum_k |x_k|^2}$, vérifient la relation d’invariance
$$ ||\lambda u ||_{\lambda x} = ||u||_x $$
pour tous $x,u$ comme avant. Elles définissent donc une métrique sur~$N_\mathcal F$.

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{\bf Lemme.} \textit{Pour tout chemin lisse par morceaux $\gamma: [0,1] \rightarrow \mathbb P^2(\mathbb C)$ commen\c{c}ant en $p= \gamma(0)$, et dont l’image est contenu dans la feuille $F_p$ de $\mathcal F$, on a
$$ || D h _\gamma (p) || = \left( \frac{|| \tilde{\gamma} (1) ||}{|| \tilde{\gamma} (0)||} \right) ^{-(d+1)},$$
où $\tilde{\gamma} : [0, 1] \rightarrow \mathbb C^3\setminus 0$ est la solution de
\begin{itemize}
\item $\pi \circ \tilde{\gamma} = \gamma$
\item $D \tilde{\gamma} (s) \in \mathbb C X(\tilde{\gamma} (s $ pour tout $s\in [0,1]$.
\end{itemize}
En d’autres termes, $\tilde{\gamma}$ est le relevé de $\gamma$ au feuilletage $\tilde{\mathcal F}$ dont la distribution tangente est $\mathbb C X$. }

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{\bf Remarque.} Sans l’hypothèse 3), on aurait la formule
$$ || D h _\gamma (p) || = \left( \frac{|| \tilde{\gamma} (1) ||}{|| \tilde{\gamma} (0)||} \right) ^{-(d+1)} \cdot \left| \exp \left(\int _{\tilde{\gamma}} \text{div} (X) dt \right) \right| . $$
Démontrons cette formule, et donc le lemme. On note $t(s) $ le temps complexe pour parcourir $\tilde{\gamma}$. Calculons la différentielle du flot $\Psi^t:= \exp (t X)$ et notamment son action sur le fibré tangent à $\mathcal G$. On sait que l’on a
$$ D \Psi ^t (X) = X$$ et comme $X$ est homogène de degré $d$, on a également $$ D\Psi ^t (R) = R + fX,$$ où $f$ est une certaine fonction. Pour tout $x \in \mathbb C^3 \setminus 0$, tout $u \in \mathbb C^3 $, et tout $t$, on a donc
$$ \det \left( D\Psi^t (R(x)), D\Psi^t (X(x)) , D\Psi^t (u) \right) = \det \left( R(\Psi^t x), X(\Psi^t x) , D\Psi^t (u) \right) =\varphi_{\Psi^t x} (D \Psi ^t (u) ) .$$
Or
$$ \det \left( D\Psi^t (R(x)), D\Psi^t (X(x)) , D\Psi^t (u) \right) = \exp \left( \int _0^t \text{div} (X) dt \right) \cdot \det{ \left(R(x), X(x) , u \right)} $$
ce qui donne
$$ \varphi_{\Psi^t x} (D \Psi ^t (u) ) = \exp \left( \int _0^t \text{div} (X) dt \right) \cdot \varphi _ x(u). $$
On obtient finalement
$$ || D h _\gamma (p) || =\frac{||D\Psi^t u ||_{\Psi^t(x)}}{||u||_{x}}= \left( \frac{||\Psi^t(x)||} {||x||}\right)^{-(d+1)} \cdot \left| \exp \left( \int _0^t \text{div} (X) dt \right) \right|$$
ce qui nous donne la formule escomptée avec $x= \tilde{\gamma}(0)$ et $\Psi^t(x) = \tilde{\gamma} (1)$. cqfd

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{\bf Corollaire.} \textit{Pour tout $p\in \mathcal M$, la trajectoire de $V$ issue de $x$ est définie pour tout temps, et l’on a pour tout $t\in \mathbb R$, $$\log || h_{\Phi ^{[0, t]} ( p) } || = – t. $$ }

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Ce résultat est immédiat. En utilisant le flot inverse $\Phi^{-t}$, qui agit comme une source au voisinage de chaque singularité (voir remarque de la partie précédente), on obtient l’hyperbolicité de $\mathcal M$.