Un champ de vecteurs non singulier homogène \(X\) sur \(\mathbf{C}^{n+1}\) définit un feuilletage algébrique \(\mathcal{F}\) de \(\mathbf{P}^n(\mathbf{C})\), ainsi qu’une structure affine \(\sigma\) le long des feuilles de ce dernier. Cette dernière est donnée par le paramétrage par le temps complexe des solutions dans \(\mathbf{C}^{n+1}\). Précisons tout cela.
Équations différentielles et feuilletages
Un champ de vecteurs \(X\) sur \(\mathbf{C}^{n+1}\) est algébrique si chacune de ses coordonnées est donnée par une fonction polynomiale. Un tel champ est homogène de degré \(d \geq 2\) si, pour tout \(\lambda \in \mathbf{C}\) et tout \(x \in \mathbf{C}^{n+1}\),
\[X(\lambda x) = \lambda^d X(x).\]
Si \(t \in \mathbf{C} \mapsto x(t) \in \mathbf{C}^{n+1}\) désigne une solution de l’équation différentielle définie par le champ de vecteurs \(X\) de condition initiale \(x_0 \in \mathbf{C}^{n+1} \) au temps \(t=0\), alors on vérifie immédiatement que, pour tout \(\lambda \in \mathbf{C}\),
\[t \mapsto \lambda x(\lambda^{d-1}t)\]
est solution de la même équation différentielle de condition initiale \(\lambda x_0\). En passant au quotient, les solutions de l’équation différentielle définie par \(X\) dans \(\mathbf{C}^{n+1}\) définissent une structure de feuilletage algébrique sur l’espace projectif complexe \(\mathbf{P}^n(\mathbf{C})\).
Les singularités d’un feuilletage algébrique correspondent aux points \(x\) de \(\mathbf{C}^{n+1} \setminus \{0\}\) en lesquels les vecteurs \(x\) et \(X(x)\) sont colinéaires ; un feuilletage algébrique de degré \(d\) admet exactement \(D = d^2+d+1\) singularités.
Équations différentielles et structures affines
SUITE à TERMINER
Plus précisément, si \(P = [x:y:z] \in (\mathbf{P}^n(\mathbf{C})\), on paramètre la feuille \(F_{P}\) passant par \(P\) par \(t\mapsto [x(t) : y(t) : z(t)]\), où $t\mapsto (x(t), y(t), z(t))$ d\’esigne la solution de
\[\frac{dx}{dt} = X(x)\]
de condition initiale $(x_0,y_0,z_0)$. La solution de \eqref{eq: Jouanolou} passant par $(\lambda x_0, \lambda y_0, \lambda z_0)$ est la courbe $t\mapsto (\lambda x(\lambda t), \lambda y(\lambda t), \lambda z(\lambda t) ) $ par homog\’en\’e\ »{\i}t\’e. Notez qu’au point $(\lambda x_0, \lambda y_0, \lambda z_0)$ le temps est multipli\’e par $1/\lambda$~: en particulier, lorsque $\lambda$ est grand les choses se passent beaucoup plus vite! Par contre, tous ces param\`etrages de $L_{p_0}$ diff\`erent par pr\’ecomposition par une transformation affine de $\mathbb C$, ce qui fournit la structure affine d\’esir\’ee.