Mois : janvier 2017

Livre ouvert, suite

Je ne sais pas comment il sera possible de « voir » ce feuilletage de Reeb, car le feuilletage de codimension un transversalement dyadique ne me semble pas forcément évident à programmer : il s’agit du « feuilletage stable faible » du champ gradient de log-norme.
En ce qui concerne la notion de livre ouvert, tu peux généraliser à toutes les dimensions. En dimension 3 tu connais. En dimension qcq il s’agit d’une fibration sur le cercle en dehors d’une sous-variété de codimension deux appelée la reliure ; la fibration au voisinage de la reliure étant localement donnée par
\[ (x,z=r\cdot\text{exp}^{i\theta}) \longmapsto \text{exp}(i\theta) \]
dans des coordonnées \( (x,z) \in \mathbf{D}^{n-2} \times \mathbf{D}^2 \). La reliure est alors donnée par \( z=0 \). Cette notion existe d’ailleurs sur les surfaces même si la terminologie n’est pas très parlante dans cette dimension.
Dans notre cas, on a pas une fibration mais un feuilletage de codimension un avec une dynamique transverse dyadique assez riche, donc j’ai exagéré en disant qu’il s’agit d’un livre ouvert. Néanmoins, il possède la même structure locale au voisinage de la surface de Bogomolov B : au voisinage de tout point de B privé de B le feuilletage est donné par les niveaux d’applications à valeurs dans le cercle donnée par la même formule que plus haut, qui sont bien définies modulo post-composition par un élément du groupe de Thompson. Il y a donc une représentation de monodromie (à la différence d’un livre ouvert standard), qui associe à un élément du groupe fondamental de B un élément du groupe de Thompson. Il s’agit bien évidemment de la représentation dont on a parlé plusieurs fois !
Dernière remarque : la classe de Godbillon-Vey discrète de cette représentation sera égale au nombre de singularités fois la classe de GV discrète du feuilletage de Reeb de \(\mathbf{S}^3\). Ceci résulte de l’existence du feuilletage de codimension un transversalement dyadique défini sur \( \mathbf{P}^2(\mathbf{C} \setminus (\text{sing}(\mathcal{F} \cup B) \), ainsi que de l’invariance de GV par bordisme. Par contre, je n’arrive pas encore à bien comprendre comment on calcule GV pour les feuilletages de codimension un transversalement dyadiques, à la façon d’une intégrale explicite comme pour l’invariant de GV classique. Il y a un petit travail à faire ici…
On s’éclate bien 😊 !

Livre ouvert et feuilletage de Reeb sont Jouanolou

Tu te souviens on avait discuté du fait qu’il existe sur l’espace total du modèle, privé des singularités ainsi que de la surface de Bogomolov, un feuilletage de codimension réelle un qui est transversalement dyadique. Il s’agit du feuilletage qui est « responsable » de l’existence de nos représentations de « monodromie » à valeurs dans le groupe de Thompson. Et bien, ce feuilletage est absolument magnifique :

  1. d’abord, au voisinage de la surface de Bogomolov, il admet la structure d’un livre ouvert. Etant dyadique, on retrouve de cette façon notre représentation à valeurs dans Thompson. Tu voies ce que je veux dire?
  2. de plus, devine quelle est la structure de ce feuilletage au voisinage des singularités hyperboliques ? Réponse : le produit du feuilletage de Reeb « classique » avec une demi-droite réelle, la structure dyadique étant la structure standard sur le feuilletage de Reeb. Joli non? En particulier, il est transverse à de petites sphères autour des singularités, et induit sur ces dernières le feuilletage de Reeb.

A un moment l’année dernière j’avais imaginé que 2. pourrait être vrai, puis je m’étais ravisé et convaincu du contraire, à cause d’une mauvaise vision du flot gradient du log de la norme. Mais en fait c’est bien vrai il me semble, génial !