REDEFINIR LES NOTATIONS et REFAIRE LES DESSINS
Soit \( \{D,h_1,h_2 \}\) un système d’itération sur un disque fermé \( D\) tel que les images de \(h_1\) et \(h_2\) sont disjointes. Donnons nous un difféomorphisme préservant l’orientation
\[ \Phi : T_1 \rightarrow T_2 \]
qui soit égal à \( h_1 \circ h_2^{-1} \) en restriction à \( h_2(D) \subset T_1\). Nous ne supposons pas à ce niveau que \( \Phi\) soit holomorphe.
Ici , nous avons construit une variété de dimension trois fermée \(W\), associée à \( \{D, h_1, h_2, \Phi \} \). Nous nous proposons ici de calculer son groupe fondamental, et d’en déduire son premier groupe d’homologie à coefficients entiers.
Rappelons que la variété \( W\) est le quotient de la variété \(V\) par l’identification de \(\Sigma^-\) à \( \Sigma^+ \) via \(\Phi\). Nous renvoyons ici pour la construction de \(V\). Une présentation du groupe fondamental de \(V\) est donnée par
\[ \pi_1(V, p) : = < a_1, a_2, \gamma_1, \gamma_2\ |\ \gamma_1 a_1 a_2 \gamma_1^{-1} = a_1,\ \gamma_2 a_1 a_2 \gamma_2^{-1} = a_2>. \]
Les lacets \( a_1, a_2, \gamma_1,\gamma_2\) sont représentés sur la figure suivante, le point \(p\) étant la classe dans \(V \) du gros point noir.
Les groupes fondamentaux des surfaces \(\Sigma^{\pm}\) sont des groupes non abéliens libres en deux lettres respectivement engendrés par
\[ \pi_1(\Sigma^- , p) : = < A^-= \gamma_2^{-1} a_1^{-1} \gamma_2 , B^- = \gamma_2^{-1} \gamma_1^{-1} \gamma_2 > \]
et
\[ \pi_1(\Sigma^+, p) : = < A^+= \gamma_1^{-1} \gamma_2^{-1} \gamma_1, B^+ = \gamma_1^{-1} a_2 \gamma_1 > \]
Le lecteur pourra vérifier que l’intersection \(\Sigma^- \cap\Sigma^+ \) est un cercle (contenant \(p\)) qui dans le groupe fondamental de \(V\) est donné par l’élément
\[ [ A^+, B^+] = [A^-, B^-] = a_1 a_2 , \]
où l’on note \([a,b] = aba^{-1}b^{-1}\). Les images par \(\Phi\) des classes \(A^-\) et \(B^-\) sont des mots en \(A^+ \) et \(B^+\) que l’on écrit
\[ \Phi _*A^- = \tau (A^+) \text{ et } \Phi_* B^- = \tau (B^+) \]
où \(\tau \) est un automorphisme du groupe non abélien libre en les lettres \( A, B\). Une présentation du groupe fondamental de \(W\) est donc
\[ \pi _1(W, p) = < a_1, a_2, \gamma_1, \gamma_2\ | \]
\[ \gamma_1 a_1 a_2 \gamma_1^{-1} = a_1, \ \gamma_2 a_1 a_2 \gamma_2^{-1} = a_2,\ A^- = \tau (A^+),\ B^- = \tau ( B^+) >. \]
L’automorphisme \(\tau \) détermine complètement la classe d’isotopie de \( \Phi \). Il satisfait la relation
\[ [ \tau (A), \tau (B)] = [A, B] \]
et c’est l’unique contrainte pour qu’il apparaisse pour un certain difféomorphisme \(\Phi\). Le sous-groupe des automorphismes du groupe non abélien libre en deux lettres qui satisfont cette équation est engendré par les deux transformations
\[ (A, B) \mapsto (AB, A^{-1}) \text{ et } (A,B) \mapsto (ABA^{-1} , A^{-1}) \]
En prenant tous les mots en ces deux automorphismes, on obtiendra des présentations pour tous les groupes fondamentaux des variétés \(W\) possibles. Un des exemples les plus simples est
\[ < a_1, a_2, \gamma_1, \gamma_2\ |\ \gamma_1 a_1 a_2 \gamma_1^{-1} = a_1, \ \gamma_2 a_1 a_2 \gamma_2^{-1} = a_2, \]
\[ \gamma_2^{-1} a_1^{-1} \gamma_2 = \gamma_1^{-1} \gamma_2^{-1} a_2 \gamma_1 , \ \gamma_2^{-1} \gamma_1^{-1} \gamma_2 = \gamma_1^{-1} \gamma_2 \gamma_1 > \]
mais la complexité devient très importante (exponentielle) en la longueur du mot \(\tau\).
Déduisons de ce calcul l’homologie de la variété \(W\), ce qui par dualité, revient à calculer le groupe \( H_1(W, \mathbb Z) \). Ce dernier est engendré par les classes
\[ [a_1] , [a_2], [\gamma_1], [\gamma_2] \]
avec les relations
\[ [a_1]=[a_2]=0, \ \ [A^- ]= \alpha [A^+] + \beta [B^+],\ \ [B^-] = \gamma [A^+]+\delta [B^+], \]
où ici
\[ \begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix}\]
désigne la matrice de \(\text{SL}(2,\mathbb Z) \) représentant l’action de \( \tau_* \) sur l’abélianisé du groupe libre à deux générateurs, dans la base \( ([A], [B])\).
Des relations
\[ [A^-] = -[a_1] ,\ \ [B^- ] = -[\gamma_1] , \ \ [A^+] = -[\gamma_2], \ \ [B^+]= [a_2] , \]
nous déduisons les relations
\[ [a_1]=[a_2]=0 , \ \ \alpha [\gamma_2] =0, \ \ [\gamma_1]= \gamma [\gamma_2] , \]
ce qui montre que \( H_1 (W, \mathbb Z) \) est isomorphe à \(\mathbb Z/ \alpha \mathbb Z\).
Observons que le coefficient \( \alpha \) est l’intersection homologique
\[ \tau (A^+) \cdot B^+ = \Phi_* A^- \cdot B^+ \]
Comme dans le tore \( T_1\) la courbe \(A^-\) est homologue à l’opposé de la courbe \(\partial D\), et que de même dans le tore \( T_2\) la courbe \(B^+\) est homologue à la courbe \(\partial D\), on obtient l’équation
\[ \alpha = – \Phi _* [\partial D]_1 \cdot [\partial D ]_2 ,\]
où l’on note ici \( [\partial D] _k \in H_1(T_k, \mathbb Z)\) la classe d’homologie du quotient de \(\partial D\) dans \(T_k\).