Nous allons nous intéresser à l’intersection du feuilletage \(\mathcal{F}_{\lambda}\) avec la sphère unité \(\mathbf{S}^3\) (pour la norme euclidienne) dans \(\mathbf{C}^2\).
Lemme : Pour tout \(r\) strictement positif, le feuilletage \(\mathcal{F}_{\lambda}\) est transverse à la sphère de rayon \(r\).
Démonstration : Si \( (x,y) \) désigne un point de \(\mathbf{C}^2\), la transversalité se traduit par la non-nullité du produit hermitien de \( (x,y) \) avec le champ de vecteurs \(X_{\lambda}\) en ce point. Un calcul immédiat de ce produit hermitien donne \(|x|^2 + \lambda |y|^2\). CQFD.
Les feuilles \(\mathcal{F}_{\lambda}^1\) et \(\mathcal{F}_{\lambda}^2\) intersectent la sphère \(\mathbf{S}^3\) le long de deux cercles \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) enlacés. En effet, quitte à rajouter l’origine, les feuilles \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_2\) sont les axes de \(\mathbf{C}^2\), donc des droites vectorielles particulières. Les cercles \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) sont donc deux cercles de la fibration de Hopf.
Pour tout point \( (x_0, y_0) \) de \(\mathbf{C}^2\) en dehors des axes, l’intersection de la feuille \(F_{(x_0, y_0)}\) avec la sphère unité \(\mathbf{S}^3\) est donnée par l’équation \(|x(t)|^2+|y(t)|^2=1\). Puisque \(x(t)=x_0\text{e}^t\) et \(y(t)=y_0\text{e}^{\lambda t}\), en notant \(t = t_1 + it_2\), on a alors
\[|x_0|^2 \text{e}^{2t_1} + |y_0|^2 \text{e}^{2(\lambda_1 t_1 – \lambda_2 t_2)} = 1,\]
ce qui permet de réécrire les fonctions coordonnées sous la forme
\[x(t) = x_0 \text{e}^{t_1}\text{e}^{it_2} \quad \text{et} \quad y(t) = \frac{y_0}{|y_0|} \sqrt{1-|x_0|^2\text{e}^{2t_1}}\text{e}^{i(\lambda_1 t_1 – \lambda_2 t_2)}.\]
En passant à la limite quand \(t_1 \longrightarrow -\infty\), on obtient que
\[x(t) \longrightarrow 0 \quad \text{et} \quad y(t) \longrightarrow \{\text{e}^{i\theta} \, ; \, \theta \in \mathbf{R} \}.\]
On montre ainsi que le cercle \(\mathcal{C}_2\) est dans l’adhérence de l’intersection cherchée. En passant à la limite quand \(\lambda_1 t_1 + \lambda_2 t_2 \longrightarrow -\infty\), on montre cette fois que le cercle \(\mathcal{C}_1\) est dans l’adhérence de l’intersection.
Résumé
Pour tout point \( (x_0, y_0) \) de \(\mathbf{C}^2\) en dehors des axes, l’intersection de la feuille \(F_{(x_0, y_0)}\) avec la sphère unité \(\mathbf{S}^3\) est une variété réelle de dimension 1, connexe donc difféomorphe à \(\mathbf{R}\). La sphère \(\mathbf{S}^3\) est donc munie d’un feuilletage par courbes réelles ayant deux orbites périodiques \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) enlacées (ce sont des cercles de Hopf) ; toute autre feuille de ce feuilletage a pour \(\alpha\)-limite l’une de ces orbites périodiques et pour \(\omega\)-limite l’autre.
