… nous allons nous intéresser à un modèle de singularité linéaire hyperbolique sur \(\mathbf{C}^2\).
Soit \(\lambda\) un nombre complexe de partie imaginaire non nulle et \(X_{\lambda}\) le champ de vecteurs défini en tout point \( (x,y) \) de \(\mathbf{C}^2\) par
\[X_{\lambda}(x,y) = (x, \lambda y).\]
Nous dirons que \(X_{\lambda}\) est un champ de vecteurs linéaire hyperbolique 1)Cette terminologie sera justifiée dans cette rubrique.. Les solutions de l’équation différentielle linéaire \(\dot{X} = X_{\lambda}\) définissent un feuilletage sur \(\mathbf{C}^2\) noté \(\mathcal{F}_{\lambda}\).
Dans un premier temps, nous allons rappeler le théorème de linéarisation de Poincaré qui explique l’importance que nous allons accorder à l’étude du champ de vecteurs \(X_{\lambda}\). Puis nous énoncerons une réciproque au théorème de linéarisation due à Brunella. Enfin nous démontrerons un cas particulier du théorème de classification des feuilletages transversalement holomorphes de Brunella-Ghys.
Dans un deuxième temps, nous allons étudier les feuilles du feuilletage \(\mathcal{F}_{\lambda}\) de \(\mathbf{C}^2\). Puisque \(X_{\lambda}\) est un champ de vecteurs linéaire (donc homogène de degré 1), nous pouvons nous intéresser au feuilletage induit par \(\mathcal{F}_{\lambda}\) sur la sphère de Riemann \(\mathbf{P}^1(\mathbf{C})\). Les feuilles du feuilletage \(\mathcal{F}_{\lambda}\) étant transverses aux sphères, nous étudions ensuite le feuilletage induit par \(\mathcal{F}_{\lambda}\) sur la sphère \(\mathbf{S}^3\).
Nous terminons cette rubrique en donnant quelques indications sur les programmes, images qui apparaissent dans les articles précédents.
References
| 1. | ↑ | Cette terminologie sera justifiée dans cette rubrique. |