Théorème de Thurston
J’ai retrouvé un message d’Etienne (voir ci-après) dans lequel il me racontait la preuve du thm de Thurston « à sa sauce ». Ca pourrait être pas mal qu’on essaie de comprendre cette preuve, dans l’idée de l’incorporer à notre blog (ce qui pourrait servir à la communauté, étant donné que la thèse de Thurston n’a pas été publiée, et qu’elle n’est pas disponible sur le net…) D’autant qu’il y a peut être des simplifications dans notre cas, car on sait déjà que l’on a affaire à un feuilletage de Hirsch.
Message d’Étienne
La bonne hypothèse, c’est : pas de feuille torique et pas seulement pas de composante de Reeb.
Car tu peux toujours prendre une supension, un cercle dans la base, disons sans holonomie,
prendre le tore qui est au dessus de ce cercle et faire spiraler. Je crois que s’il n’y a pas
de composante de Reeb, on peut mettre le feuilletage transverse aux fibres sauf le long
des feuilles toriques, qui sont tangentes.
Quelques mots sur la preuve (revue à la sauce Etienne).
S’il n’y a pas de composante de Reeb, toutes les feuilles sont fermées dans le revêtement universel
(car sinon, transversale fermée homotope à zéro, donc cycle évanouissant par Haefliger, donc
composante de Reeb par Novikov).
Donc l’espace des feuilles dans le revêtement universel est une variété de dimension 1 non séparée.
Maintenant, tu étudies l’action du centre du pi1 (le pi des fibres) sur cet espace. J’affirme
qu’il n’y a pas de points fixes. L’ensemble des points fixes est un fermé invariant par tout le groupe,
et correspond donc à un fermé invariant dans la variété compacte. Pas difficile de voir que
ça signifierait que les feuilles de ce fermé seraient toutes des cylindres (une surface à centre
non trivial) mais c’est impossible par Sacksteder en C2. Bon, tout ça doit être mieux dit, en particulier
il faut considérer les points presque fixes par le centre, ie qu’on ne peut pas séparer de leur image.
Détails dans mon article préhistorique sur les flots d’Anosov sur les fibrés en cercles (ergodic theory 83 ?)
Ah j’oubliais aussi : un point fixe du centre, ça pourrait aussi correspondre à une feuille torique (verticale).
Bon, bref, après ce boulot, on regarde le quotient de l’espace des feuilles par l’action du centre.
C’est une variété de dimension 1 dont le pi1 est Z. Alors, je définis sa classe fondamentale comme
l’ensemble des points qui ne disconnectent pas. C’est un ouvert invariant par le pi1 de la base.
Son bord serait un minimal exceptionnel, impossible par Sacksteder. Donc, l’espace des feuilles
est séparé et c’est un cercle.
Maiintenant, on prend une triangulation de la base disons avec un seul sommet.
La fibre au dessus du sommet peut être mise transverse puisque l’espace des feuilles
est S1. Puis on met les cylindres au dessus des arêtes en position transverse, et c’est possible
pour la même raison. Puis le reste, ce qui est possible puisqu’il reste un tore solide,
transverse au bord et qu’on sait que l’espace des feuilles est le bon.
Bon, je ne suis pas très clair… mais, au moins, c’est très clair dans ma tête…